第八章圆锥曲线§8.1椭圆基础自测1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于()A.B.C.D.答案D2.已知椭圆(a＞b＞0)的离心率为,若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转后，所得椭圆的一条准线方程是y=，则原来椭圆的方程是（）A.B.C.D.答案C3.已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A.B.6C.D.12答案C4.已知方程，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为（）A.（-∞,）B.(1,2)C.(-∞,0)∪(1,2)D.(-∞,-1)∪（1,）答案D5.(2008·天津文，7)设椭圆(m＞0,n＞0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A.B.C.D.答案B用心爱心专心例1一动圆与已知圆O1：（x+3)2+y2=1外切，与圆O2：(x-3)2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.解两定圆的圆心和半径分别为O1（-3，0），r1=1；O2（3，0），r2=9.设动圆圆心为M（x，y），半径为R，则由题设条件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R.∴|MO1|+|MO2|=10.由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a=5，c=3.∴b2=a2-c2=25-9=16，故动圆圆心的轨迹方程为.例2（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0），求椭圆的方程；（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（，1）、P2（-，-），求椭圆的方程.解（1）若焦点在x轴上，设方程为=1(a＞b＞0). 椭圆过P（3，0），∴=1.又2a=3×2b,∴a=3,b=1,方程为+y2=1.若焦点在y轴上，设方程为=1(a＞b＞0). 椭圆过点P（3，0），∴=1又2a=3×2b,∴a=9,b=3.∴方程为=1.∴所求椭圆的方程为+y2=1或=1.（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0且m≠n). 椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，则①、②两式联立，解得∴所求椭圆方程为=1.例3已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°.（1）求椭圆离心率的范围；（2）求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.用心爱心专心（1）解设椭圆方程为=1（a＞b＞0）,|PF1|=m,|PF2|=n.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2=m2+n2-2mncos60°. m+n=2a，∴m2+n2=（m+n）2-2mn=4a2-2mn，∴4c2=4a2-3mn.即3mn=4a2-4c2.又mn≤=a2（当且仅当m=n时取等号）,∴4a2-4c2≤3a2，∴≥，即e≥.又0＜e＜1,∴e的取值范围是.（2）证明由（1）知mn=b2,∴S△=mnsin60°=b2,即△PF1F2的面积只与短轴长有关.例4（12分）如图所示，已知A、B、C是椭圆E：=1（a＞b＞0)上的三点，其中点A的坐标为（2，0），BC过椭圆的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|.（1）求点C的坐标及椭圆E的方程；（2）若椭圆E上存在两点P、Q，使得∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，试判断向量与是否共线，并给出证明.解（1） |BC|=2|AC|，且BC经过O（0，0）,∴|OC|=|AC|.又A（2，0），∠ACB=90°,∴C（，）,2分 a=2，将a=2及C点坐标代入椭圆方程得=1,∴b2=4,∴椭圆E的方程为:=1.5分（2）对于椭圆上两点P、Q， ∠PCQ的平分线总垂直于x轴，∴PC与CQ所在直线关于直线x=对称，设直线PC的斜率为k，则直线CQ的斜率为-k，∴直线PC的方程为y-=k(x-),即y=k(x-)+.①直线CQ的方程为y=-k(x-)+,②7分将①代入=1,得(1+3k2)x2+6k(1-k)x+9k2-18k-3=0,③ C(,)在椭圆上，∴x=是方程③的一个根.用心爱心专心∴xp·=，∴xp=，同理可得,xQ=,∴kPQ=.10分 C（，），∴B（-，-），又A（2，0），∴kAB=，11分∴kAB=kPQ，∴向量与向量共线.12分1.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2，M是椭圆上一点，N是MF1的中点，若|ON|=1，则|MF1|的长等于（）A.2B.4C.6D.5答案C2.根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；（2）经过两点A（0，2）和B.解（1）设椭圆的标准方程是=1或=1(a＞b＞0)，则由题意知2a=|PF1|+|PF2|=2，∴a=.在方程=1中令x=±c,得|y|=;在方程=1中令y=±c,...
