空间向量的数量积运算A级基础巩固一、选择题1．对于a，b，c向量和实数λ，下列命题中的真命题是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c答案：B2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝()A．13B.C．2D.解析：|a＋3b|＝＝＝＝.答案：B3．若a与a＋2b的数量积为6，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b之间的夹角为()A.B.C.πD.π答案：B4．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，M为BC中点，则△AMD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定答案：C5．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则a与b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．以上都不对答案：D1二、填空题6．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．解析：因为a＋b＋c＝0，所以(a＋b＋c)2＝0，所以a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，所以a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.答案：－137．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________．解析：由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，所以18＋(λ＋1)·3×4cos135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，所以λ＝－.答案：－8．已知向量a与b的夹角为135°，且|a|＝|b|＝4，则a·(2a－b)＝________．解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2×42－4×4·cos135°＝32＋8答案：32＋8三、解答题9．如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠BAD＝120°，PA⊥平面ABCD，PA＝6.求PC的长．解：因为PC＝PA＋AD＋DC，所以|PC|2＝PC·PC＝(PA＋AD＋DC)2＝|PA|2＋|AD|2＋|DC|2＋2PA·AD＋2PA·DC＋2AD·DC＝62＋42＋32＋2·|AD|·|DC|·cos120°＝49.所以|PC|＝7，故PC的长为7.210．如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．(1)证明：AB1＝AB＋BB1，BC1＝BB1＋BC.因为BB1⊥平面ABC，所以BB1·AB＝0，BB1·BC＝0.又△ABC为正三角形，所以〈AB，BC〉＝π－〈BA，BC〉＝π－＝.因为AB1·BC1＝(AB＋BB1)·(BB1＋BC)＝AB·BB1＋AB·BC＋BB12＋BB1·BC＝|AB|·|BC|·cos〈AB·BC〉＋BB12＝－1＋1＝0，所以AB1⊥BC1.(2)解：结合(1)知AB1·BC1＝|AB|·|BC|·cos〈AB，BC〉＋BB12＝BB12－1.又|AB1|＝＝＝|BC1|，所以cos〈AB1，BC1〉＝＝.所以|BB1|＝2，即侧棱长为2.B级能力提升1．已知空间向量a，b，c，两两夹角为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|＝()A.B．5C．6D.解析：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，所以a·b＝b·c＝a·c＝，a2＝b2＝c2＝1.所以|a－b＋2c|＝＝＝3＝＝.答案：A2．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．解析：由题意知即⇒λ2＋2λ－2<0.所以－1－<λ<－1＋.答案：(－1－，－1＋)3.在棱长为1的正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F分别是D′D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C′G的中点．(1)求EF，C′G所成角的余弦值；(2)求FH的长．解：设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝0，|a|2＝a2＝1，|b|2＝b2＝1，|c|2＝c2＝1.(1)因为EF＝ED＋DF＝－c＋(a－b)＝(a－b－c)，C′G＝C′C＋CG＝－c－a，所以EF·C′G＝(a－b－c)·＝(－a2＋c2)＝，|EF|2＝(a－b－c)2＝(a2＋b2＋c2)＝，|C′G|2＝＝c2＋a2＝，所以|EF|＝，|C′G|＝，cos〈EF，C′G〉＝＝，所以EF，C′G所成角的余弦值为.(2)因为FH＝FB＋BC＋CC′＋C′H＝(a－b)＋b＋c＋C′G＝(a－b)＋b＋c＋4＝a＋b＋c，所以|FH|2＝＝a2＋b2＋c2＝，所以FH的长为.5
