高二数学专题（一）简化圆锥曲线运算的几种数学思想知识精讲人教版【本讲教育信息】一.教学内容：专题（一）简化圆锥曲线运算的几种数学思想二.教学重、难点：1.重点：圆锥曲线的综合问题。2.难点：灵活运用介绍的几种数学思想简化圆锥曲线的运算。【典型例题】（一）极端思想通过考察圆锥曲线问题的极端元素，灵活地借助极限状态解题，则可以避开抽象及复杂运算，优化解题过程，降低解题难度。这是简化运算量的一条重要途径。[例1]求已知离心率，过点（1，0）且与直线：相切于点（），长轴平行于轴的椭圆方程。解：把点（）看作离心率的椭圆（“点椭圆”），则与直线：相切于该点的椭圆系即为过直线与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程为：又由于所求的椭圆过点（1，0），代入上式得，因此，所求椭圆方程为：（二）补集思想有些圆锥曲线问题，从正面处理较难，常需分类讨论，运算量大，且讨论不全又容易出错，如用补集思想考虑其对立面，可以达到化繁为简的目的。[例2]为何值时，直线：不能垂直平分抛物线的某弦。解：设，直线垂直平分抛物线的某弦。若直线垂直平分抛物线的弦AB，且A，B，则，上述两式相减得：即又设M是弦AB的中点，且，则因为点M在直线上，所以由于M在抛物线的内部，所以，即用心爱心专心116号编辑故原命题中的取值范围是或（三）整体思想对有些圆锥曲线问题，注意其整体结构特点，设法将问题整体变形转化，以达到避免一些不必要的运算，降低解题难度。[例3]从椭圆外一点P（2，4）作椭圆的切线，求两切线的夹角。解：由椭圆的切线方程知两切线的方程为：又切线过点P（2，4），所以，整理得，所以，所以所以两切线的夹角（四）方程思想把圆锥曲线问题中的解析式看作一个方程，通过解方程的手段或对方程的研究，使问题得到解决，这种思想方法在解析几何试题中经常使用。[例4]已知双曲线C：，设该双曲线上支的顶点为A，且上支与直线相交于P点，一条以A为焦点，M（）为顶点，开口向下的抛物线通过点P，设PM的斜率为，且，求实数的取值范围。解：由双曲线方程知A（0，1），则抛物线方程为，由双曲线与直线相交，解得点P的坐标为，又因为点P在抛物线上，所以①而MP的斜率为，所以将代入①，得，即②根据题意，方程②在区间上有实根令，其对称轴方程为所以所以实数的取值范围为（五）函数思想对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。[例5]直线：和双曲线的左支交于A、B两点，直线过P（）和用心爱心专心116号编辑AB线段的中点M，求在轴上的截距的取值范围。解：由消去得，由题意，有：设M（），则由P（）、M（）、Q（）三点共线，可求得设，则在上为减函数。所以，且所以所以或（六）参数思想处理圆锥曲线问题，可以通过引入参变量替换，使许多相关或不相关的量统一在参变量下，其妙处在于减少未知量的个数或转化原命题的结构，以达到简化解题过程的目的。[例6]当为何实数时，椭圆与曲线C：有公共点？解：椭圆方程变形为：设，即代入曲线C得：，即（1）椭圆与曲线C有交点，等价于方程（1）有解，即等价于函数的值域所以因为，所以的取值范围是（七）转化思想数学问题的求解过程，实际上就是问题的转化过程。它主要体现在条件由“隐”转化为“显”，结论由“暗”转化为“明”，即从陌生向熟悉、复杂向简单、间接向直接的过程。[例7]设圆满足：①截轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线：的距离最小的圆的方程。解：设圆的圆心为P（），半径为，由①知；由②知，圆P截轴所得劣弧对应的圆心角为，即圆P截轴所得的弦长为，故有，消去得圆心的轨迹为：如何求圆心P（）到直线：的距离的最小值，这样转化为从不同角度求条件最值问题。转化1：变量替换求最值 ∴用心爱心专心116号编辑设，则有，解得，，所以有=当且仅当，即时，达到最小值。此时可求得或由于，故。于是所求圆的方程是：或转化2：三角代换求最值令，则，所以由，得当达到最小值时，=1，从而，并由此解得或即或，以下同解法1...
