专题突破练(一)函数与导数问题的求解策略[A级基础达标练]一、选择题1．与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是()A．3x＋y＋2＝0B．3x－y＋2＝0C．x＋3y＋2＝0D．x－3y－2＝0[解析]设切点坐标为(x0，y0)，由f′(x)＝3x2＋6x得f′(x0)＝3x＋6x0＝－3，解得x0＝－1，即切点坐标为(－1，1)．从而切线方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.[答案]A2．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()A．12cm3B．72cm3C．144cm3D．160cm3[解析]设盒子容积为ycm3，盒子的高为xcm.则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x(0
g′(x)，则当ag(x)B．f(x)g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)[解析]设F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)>0，即F(x)在[a，b]上是增函数．从而当af(a)－g(a)，即f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)．[答案]C4．已知函数f(x)的定义域是[－1，5]，部分对应值如下表．f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图11所示.x－1045f(x)1221图11下列关于函数f(x)的命题：①函数y＝f(x)在[0，2]上是减函数；②如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值是4；③当14.[答案]D二、填空题6．(2015·日照联考)已知函数f(x)＝(ax2＋x)－xlnx在[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．[解析]由题意知：f′(x)＝2ax＋1－(lnx＋1)≥0，则a≥，x∈[1，＋∞)恒成立；设g(x)＝，令g′(x)＝＝0，解得x＝e，当x∈[e，＋∞)时，g(x)为减函数；x∈[1，e)时，g(x)为增函数，故g(x)的最大值为g(e)＝，因此a≥.[答案]a≥7．若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．[解析]因为x＝2是f(x)的极大值点，所以f(x)＝x(x2－2cx＋c2)＝x3－2cx2＋c2x，所以f′(x)＝3x2－4cx＋c2，所以f′(2)＝3×4－8c＋c2＝0，解得c＝2或c＝6，当c＝2时，不能取极大值(舍去)．所以c＝6.[答案]68．(2015·南京模拟)抛物线y＝x2上的点到直线：x－y－2＝0的最短距离为________．[解析]y′＝2x，根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点坐标为，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.[答案]三、解答题9．已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．[解](1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.(2)由(1)知f(x)＝＋－lnx－，则f′(x)＝.令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0，5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0，5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln5.10．(2015·东营模拟)已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x－lnx.(1)证...
