第4练平面向量[明晰考情]1.命题角度：向量常与三角函数、不等式、解析几何等知识交汇命题，综合考查向量的有关知识，一般以选择、填空题的形式考查.2.题目难度：中低档难度．考点一平面向量的线性运算要点重组(1)平面向量的线性运算：加法、减法、数乘．(2)共线向量定理．(3)平面向量基本定理．方法技巧(1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减．(2)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得OC＝sOA＋tOB，且s＋t＝1，s，t∈R.(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决．1．(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB等于()A.AB－ACB.AB－ACC.AB＋ACD.AB＋AC答案A解析作出示意图如图所示．EB＝ED＋DB＝AD＋CB＝×(AB＋AC)＋(AB－AC)＝AB－AC.故选A.2.如图，在△ABC中，N是AC边上一点，且AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为()A.B.1C．1D．3答案B解析 AN＝NC，∴AN＝AC，∴AP＝mAB＋AC＝mAB＋AN.又B，N，P三点共线，∴m＝.3.如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC＝λAM＋μBN，则λ＋μ等于()A．2B.C.D.答案D解析方法一如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM＝，BN＝，AC＝(1,1)． AC＝λAM＋μBN＝λ＋μ＝，∴解得故λ＋μ＝.方法二以AB，AD作为基底， M，N分别为BC，CD的中点，∴AM＝AB＋BM＝AB＋AD，BN＝BC＋CN＝AD－AB，∴AC＝λAM＋μBN＝AB＋AD，又AC＝AB＋AD，因此解得所以λ＋μ＝.4．已知AB，DC为梯形ABCD的两腰，若AD＝(－1,3)，BC＝(1－x，2x)，则x＝_____.答案3解析由梯形的性质知，AD∥BC，且同向，则－1·2x－3(1－x)＝0，解得x＝3.5．在△ABC中，点M是线段BC延长线上一点，且满足BM＝3CM，若AM＝xAB＋yAC，则x－y＝________.答案－22解析因为AM＝AC＋CM＝AC＋BC，BC＝AC－AB，所以AM＝AC＋(AC－AB)＝AC－AB，所以x＝－，y＝，则x－y＝－2.考点二平面向量的数量积要点重组(1)a·b＝|a||b|cosθ.(2)|a|2＝a·a；cosθ＝.方法技巧(1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法．(2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法．6．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(b＋λa)⊥c，则λ的值为()A．－B．－C.D.答案A解析b＋λa＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，又c＝(3,4)，且(b＋λa)⊥c，所以(b＋λa)·c＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－.7．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB＋PC)的最小值是()A．－2B．－C．－D．－1答案B解析方法一(解析法)建立坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1，0)，C(1,0)．设P点的坐标为(x，y)，图①则PA＝(－x，－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，∴PA·(PB＋PC)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－y)＝2≥2×＝－.当且仅当x＝0，y＝时，PA·(PB＋PC)取得最小值，最小值为－.故选B.方法二(几何法)如图②所示，PB＋PC＝2PD(D为BC的中点)，则PA·(PB＋PC)＝2PA·PD.3图②要使PA·PD最小，则PA与PD方向相反，即点P在线段AD上，则(2PA·PD)min＝－2|PA||PD|，问题转化为求|PA||PD|的最大值．又当点P在线段AD上时，|PA|＋|PD|＝|AD|＝2×＝，∴|PA||PD|≤2＝2＝，∴[PA·(PB＋PC)]min＝(2PA·PD)min＝－2×＝－.故选B.8．已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC等于()A．30°B．45°C．60°D．120°答案A解析|BA|＝1，|BC|＝1，cos∠ABC＝＝.又 0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.9．(2016·浙江)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________．答案解析由已知可得≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|，由于上式对任意单位向量e都成立．∴≥|a＋b|成立．∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.即6≥5＋2a·b，∴a·b≤.10．在平面内，AB·AC＝BA·BC＝CA·CB＝6，动点P，M满足|AP|＝2，PM＝MC，则|BM|2的最大值是________．答案16解析由已知易得△ABC是等边三角形且边长为...
