元二次方程根的判别式的综合应用四川省武胜县中心镇小学初中部曹建局一、知识要点：1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。定理1ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＞0方程有两个不等实数根.定理2ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根.定理3ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0方程没有实数根.2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。定理4ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根Δ＞0.定理5ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根Δ＝0.定理6ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根Δ＜0.注意：（1）再次强调：根的判别式是指Δ=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.二.根的判别式有以下应用：①不解一元二次方程，判断根的情况。例1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)2x2+3x-4=0(2)ax2+bx=0(a≠0)解：(1)2x2+3x-4=0a=2,b=3,c=-4, Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0∴方程有两个不相等的实数根。(2) a≠0,∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零， Δ=(-b)2-4·a·0=b2, 无论b取任何关数，b2均为非负数，∴Δ≥0，故方程有两个实数根。②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；分析：由判别式定理的逆定理可知（1）Δ＞0；（2）Δ=0；（3）Δ＜0；解：Δ=(-4)2-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k（1） 方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即36-4k＞0.解得k＜9（2） 方程有两个不相等的实数根，∴Δ=0，即36-4k=0.解得k=9（3） 方程有两个不相等的实数根，∴Δ<0，即36-4k<0.解得k>9③证明字母系数方程有实数根或无实数根。例3．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。证明：Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)=4m2-4(m4+5m2+4)=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)=-4(m2+2)2 不论m取任何实数(m2+2)2>0,∴-4(m2+2)2<0,即Δ<0.∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：（1）计算Δ（2）用配方法将Δ恒等变形（3）判断Δ的符号（4）结论.其中难点是Δ的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a2+2,(a2+2)2,-a2,-(a2+2)2的代数式，从而判定正负，非负等情况。④应用根的判别式判断三角形的形状。例4．已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有两个相等的实数根。求证ΔABC为RtΔ。证明：整理原方程：方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0.整理方程得：cx2+cm+bx2-bm-2ax=0(c+b)x2-2ax+cm-bm=0根据题意： 方程有两个相等的实数根，∴Δ=(-2a)2-4(c+b)(cm-bm)=04ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0ma2-c2m+b2m=0∴Δ=m(a2+b2-c2)=0又 m>0,∴a2+b2-c2=0∴a2+b2=c2又 a,b,c为ΔABC的三边，∴ΔABC为RtΔ。⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式例5、（1）若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是（）;（2）若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是（）;分析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即Δ=0解：（1）令16a2+ka+1=0 方程有两个相等的实数根，∴Δ=k2-4×16×25=0∴k=+40或者-40（2）令ka2+4a+15=0 方程有两个相等的实数根，∴Δ=16-4k=0∴k=4⑥可以判断抛物线与直线有无公共点例6:当m取什么值时，抛物线与直线y=x＋2m只有一个公共点？解:列方程组消去y并整理得x2+x-m-1=0， 抛物线与直线只有一个交点，∴Δ＝0，即4m+5=0∴(说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。)⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点分析：抛物线y=ax2+bx+c与x...
