初三数学思想方法与新题型解析一.本周教学内容：数学思想方法与新题型解析二.重点、难点：数学思想反映着数学概念、原理及规律的联系和本质，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能、方法的关键。在解综合题时，尤其需要用数学思想来统帅，分析、探求解题的思路，优化解题的过程，验证所得的结论。在初中数学中常用的数学思想有方程思想、数形结合思想、转化思想和分类讨论思想。（一）方程思想在初中数学中，我们学习了许多类型的方程和方程组的解法。例如，一元一次方程、一元二次方程，可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法，二元一次方程组、三元一次方程组的解法，以及二元二次方程组的解法等，所以我们如果能把实际问题或数学问题转化成解上述方程或方程组，问题就容易解决了。所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得到解决。用方程思想分析、处理问题，思路清晰，灵活、简便。1.方程思想的最基本观点——几个未知数，列几个独立的方程我们知道在一般情况下，几个未知数在几个独立的方程的制约下有确定的解。在涉及数量关系的问题中，用这一基本思想来分析、处理，能较为容易地找到解题途径。例1.已知：是关于x的方程的两个实数根，且，求m的值。分析：本题中涉及三个未知数，需列出三个方程，题目中已给出了一个关于的方程，那么只需再找出两个关于和m的方程即可。解法1依题意，得说明：一般地，有几个未知数，则需列几个方程。例2.如图，在直角三角形ABC中，，AD是的角平分线，DE//CA，已知CD=12，BD=15，求AE、BE的长。分析：题目要求AE、BE这两个未知数的值，由于DE//CA，并且DC=12，BD=15，容易得到，得到关于BE、EA的一个方程。而题目中有两个未知数，还需要再建立一个关于BE、EA的方程。由条件易知，ABC和EBD都是直角三角形，由AD是角平分线和DE//CA可以证明AE=ED，这样就把AE、EB集中在RtEDB中，用勾股定理可再列一个方程。解：设AE为x，BE为y，那么2.方程思想解题的核心——构造方程，沟通已知与未知的联系用方程思想解题的核心是揭示题目中隐含的等量关系，设未知数、构造方程，沟通已知与未知的联系，从而使问题得到解决。例3.已知：如图，DB是半圆O的直径，A为BD延长线上一点，AC与半圆O相切于点E，，若，求⊙O半径。分析：题目的条件给我们提供了许多等量关系。已知CB垂直直径DB，可知CB是⊙O的切线，于是有CE=CB；由切割线定理得；在中，由勾股定理得。题目又给出了两条线段的比，则可设未知数，寻找等量关系，构造方程。若设，则根据上面的等量关系易得。以为等量关系构造方程：解略问：题目要求⊙O半径，能否直接设所求量为未知数呢？这时，应以哪个等量关系来构造易解的方程，从而求出半径的长呢？进一步分析可以看到，由，可知，即。连结OE（如图），则。，把它作为等量关系构造方程：解得，从而求出半径长为。说明：从本例的两种不同解法可看到，列方程的关键是寻求等量关系。在几何计算题中，常利用几何中的定理、公式，如勾股定理、切割线定理、相交弦定理、三角函数关系式等作为等量关系来构造方程，或利用图形中某些位置关系所隐含的等量关系（线段和差、面积和差、相似三角形对应边成比例）等构造方程。下面我们把此例的已知条件稍加变化，分析如何寻找等量关系构造方程求解。例4.如图，DB是半圆O的直径，A为BD延长线上一点，AC与半圆O相切于点E，。若，求的面积。分析：要求的面积，只要求出AB、BC的长即可。题目中给出了线段比，可利用比值设未知数，把其它线段用此未知数表示出来，寻找等量关系，构造方程。此题解法很多，仅举其中一种解法。简解：可证CB为半圆O的切线，CE=CB于F，可得说明：此例是利用勾股定理作为等量关系构造方程的。由以上几例可以看出，设未知数一般是所求的量是什么，就设什么为未知数。当所求的量不易直接求出时，要根据题目的特点，选择便于把条件、结论结合起来的未知量用字母表示为未知数，这样解题比较方便。例5.已知：在中，AD为BAC的平分线，以C为...
