相似三角形的性质及其应用一相似三角形的性质(教材P43习题27.2第12题)如图1，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，试确定点D(或E)的位置．图1解：∵DE∥BC∴＝由题可知：＝＝()2∴＝，即AD＝AB二相似三角形的应用(教材P58习题27第11题)如图2，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？图2解：设正方形零件的边长为xmm，AD与EF交于点I.∵EFGH为正方形∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C，△AEF∽△ABC，同理得△AEI∽△ABD∴＝＝即＝.解得x＝48即正方形零件的边长为48mm.如图3，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝5，高AD＝4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点H.图3(1)求证：＝.(2)设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积．解：(1)证明：∵在矩形EFPQ中，EF∥PQ.∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C.∴△AEF∽△ABC.又∵AD⊥BC，EF∥PQ∴AH⊥EF.∴＝(2)设矩形EFPQ的面积为y.∵＝，∴＝.∴AH＝.∴DH＝4－x，∴y＝－x2＋4x＝－(x－)2＋5，又∵a＝－<0，∴当x＝时，y有最大值5.即当x＝时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5.若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形．如图(1)，矩形ABCD中，BC＝2AB，则称ABCD为方形．(1)设a，b是方形的一组邻边，写出a，b的值(一组即可)；(2)在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结线为一边作矩形，使得这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图(2)所示．①若BC＝25，BC边上的高为20，判断以B4C4为一边的矩形是不是方形？为什么？②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．图(1)图(2)图4解：(1)答案不唯一，如a＝3，b＝6.(2)①由题意，可知＝，B4C4＝25×＝20，∵20÷5＝4≠10，∴此矩形不是方形．②设BC边上的高为h，由题意可知，＝，若B3C3＝2×h，则＝，若B3C3＝×h，则＝.
