初中数学有趣的平行线在《平行线》这一章的学习中，我们会碰到这道经典的例题：例题如图所示，已知AB∥CD，分别探索下列四个图形中∠P与∠A、∠C的关系，并说明理由。解析图1中，∠P+∠A+∠C=360°；图2中∠P=∠A+∠C。证明如图3，过点P作PF∥AB，∴∠A+∠APF=180°。又AB∥CD，PF∥AB，∴PF∥CD，∴∠FPC+∠C=180°。∴∠A+∠APC+∠C=∠A+∠APF+∠FPC+∠C=180°+180°=360°。如图4，过点P作PG∥AB，∴∠A=∠APG。又AB∥CD，PG∥AB，∴PG∥CD，∴∠GPC=∠C。∴∠APC=∠APG+∠GPC=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C，我们把这个例题加以拓展引申，可以得到许多有趣的问题：例1（1）如图（1），AB∥CD，则∠B+∠E1+∠D=；（2）如图（2），AB∥CD，则∠B+∠E1+∠E2+∠D=；（3）如图（3），AB∥CD，则∠B+∠E1+∠E2+∠E3+∠D=；（4）按照上面的规律，如图（4），AB∥CD，则∠B+∠E1+∠E2+∠E3+…++=。解析（1）由问题中的图1可过E1作AB的平行线，得∠B+∠E1+∠D=360°；（2）根据图3，再过E2作AB的平行线，得∠B+∠E1+∠E2+∠D=360°+180°=540°；（3）依次类推，得∠B+∠E1+∠E2+∠E3+∠D=540°+180°=720°；（4）∠B+∠E1+∠E2+∠E3+…+∠En+∠D=（n+1）·180。例2（1）如图（1），AB∥CD，则∠E1与∠B、∠D的关系是；（2）如图（2），AB∥CD，则∠E1+∠E2与∠B、∠D的关系是；（3）如图（3），AB∥CD，则∠E1+∠E2+∠E3与∠B、∠D的关系是；（4）按照上面的规律，如图（4），AB∥CD，则∠E1+∠E2+∠E3+…+∠En与∠B、∠D的关系是。解析（1）由问题中的图4可证得∠E1=∠B+∠D；（2）根据图4，再过E2作AB的平行线，得∠E1+∠E2=∠B+∠D+180°；（3）依次类推，得∠E1+∠E2+∠E3=∠B+∠D+360°；（4）∠E1+∠E2+∠E3+…+∠En=∠B+∠D+（n－1）·180°。例3（1）如图（1），AB∥CD，BE1平分∠ABE，DE1平分∠CDE，∠BED=150°。那么∠E1=；（2）如图（2），AB∥CD，BE1平分∠ABE，DE1平分∠CDE，BE2平分∠ABE1，DE2平分∠CDE1，则∠E2=；（3）如图（3），AB∥CD，BE1平分∠ABE，DE1平分∠CDE，BE2平分∠ABE1，DE2平分∠CDE1，BE3平分∠ABE2，DE3平分∠CDE2，则∠E3=；（4）按照上面的规律，如图（4），AB∥CD，BE1平分∠ABE，DE1平分∠CDE，BE2平分∠ABE1，DE2平分∠CDE1，BE3平分∠ABE2，DE3平分∠CDE2，BE3平分∠ABE2，DE3平分∠CDE2…，则∠En=。解析（1）由问题中的图2可得∠E=∠ABE+∠EDC，∠BED=150°，∴∠ABE+∠EDC=150°；同理∠E1=∠ABE1+∠E1DC=（2）∠E2==37.5°。（3）∠E3==18.25°。（4）∠En=。例4（1）如图（1），若AB∥CD，则∠B+∠C=∠E，你能说明理由吗？（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请说明理由；（3）若将点E移至图（2）所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？请说明理由；（4）若将点E移至图（3）所示位置，情况又如何？（5）在图（4）中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？解析（1）由问题中的图4可证得∠E=∠B+∠D。（2）当∠B+∠D=∠E时，直线AB与CD平行。证明如下：过点E作EF∥AB，则∠B=∠BEF。又∠B+∠D=∠BED，∴∠D=∠DEF，∴EF∥CD，∴AB∥EF∥CD即AB∥CD。（3）∠B+∠D+∠E=360°（过点E作EF∥AB，方法同上）。（4）∠B=∠D+∠E。（5）∠E+∠G=∠B+∠F+∠D。
