初三数学专题三开放探索性问题一.本周教学内容：专题三开放探索性问题开放探索问题是相对给出明确条件和结论的封闭性问题而言的。这类问题的鲜明特征是解法的探索性，条件的不完备性及结论的不唯一性。常见的开放探索性问题包括探索补充条件，探索确定结论，探索存在性和有关方案的设计，动手操作四个大的类型。解题中常运用综合法、分析法、数形结合法等并综合一些数学思想来处理开放探索性问题。这类问题重在开发学生的思维，促进学生创新能力的培养，是近几年综合题的热点，考题灵活，需要学生拥有扎实的基础知识。【典型例题】例1.以△ABC的三边作如图所示的三个正三角形△ACD、△ABE、△BCF，连DF、FE。（1）判断四边形AEFD是什么四边形？为什么？（2）当∠BAC满足什么条件时，四边形ADFE为矩形？（3）当∠BAC满足什么条件时，四边形ADFE不存在？（4）当△ABC分别满足什么条件时，四边形ADFE是菱形、正方形？分析：略。解：（1）四边形AEFD为平行四边形证： △ACD、△BCF为正三角形∴AC=DC，BC=FC∠ACD=∠BCF=60°∴∠ACD－∠ACF=∠BCF－∠ACF即∠1=∠2∴△ABC≌△DFC（SAS）∴AB=DF又AB=AE∴DF=AE同理：AD=EF∴四边形AEFD为平行四边形（2）要平行四边形ADEF为矩形则∠DAE=90°而∠DAC=∠BAE=60°∴∠BAC=360°－90°－60°－60°=150°即当∠BAC=150°四边形ADFE为矩形（3）四边形ADFE不存在则D、A、E三点共线∴∠BAC=180°－60°－60°=60°（4）平行四边形ADFE是菱形，必有AD=AE此时有AB=AC且∠BAC≠60°平行四边形ADFE为正方形时它必是菱形又是矩形∴△ABC为顶角∠BAC=150°的等腰三角形例2.李大爷有一个边长为a的正方形鱼塘，如图，鱼塘四个角的顶点A、B、C、D上各有一棵大树，现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大），又不想把树挖掉（四棵树在新鱼塘的边沿上）。（1）若按圆形设计，画出你所设计的圆形鱼塘示意图，并求出圆形鱼塘的面积。（2）若按正方形设计，画出你所设计的正方形鱼塘示意图。（3）你在所设计的正方形鱼塘中，有无最大面积？为什么？（4）李大爷想使新建的鱼塘面积最大，你认为新建鱼塘的最大面积是多少？分析：略。解：（1）如图（1）以AC或BD为直径画图即可（2）如图（2）（3）有最大面积如图（2），由作图知：Rt△ABE、Rt△BFC、Rt△CDG、Rt△AHD为四个全等的三角形∴只要Rt△ABE的面积最大，正方形EFGH的面积最大∴李大爷新建鱼塘的最大面积为2a2它是一个正方形鱼塘例3.抛物线与x轴围成的图形内，顶点B、C在x轴上，顶点A、D在抛物线上，且A在D点的右侧。（1）求二次函数的解析式。（2）设点A（x,y）试求矩形ABCD的周长L与自变量x的函数关系。（3）周长为10的矩形ABCD是否存在？若存在，请求出顶点A的坐标；若不存在，请说明理由。分析：略。解：（1）把（0，4）代入y=ax2－4a有4=0－4a∴a=－1∴二次函数的解析式为y=－x2＋4（2）首先由（1）解析式y=－x2＋4画出示意图 矩形ABCD的顶点A、D在抛物线上由抛物线的对称轴性知A、D关于y轴对称，B、C关于y轴对称 点A（x,y）∴AD=2x（3）假设周长为10的矩形ABCD是存在的∴存在周长为10的矩形ABCD，且点A的坐标为（1，3）例4.三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=2BC=12，将纸片折叠使点A总是落在BC边上，记为点D，EF为折痕，如图：（1）当△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形时，求△DCF的面积。（2）在BC边上是否存在一点D，使以D、E、F为顶点的三角形和以D、E、B为顶点的三角形相似？若存在，求出相似比；若不存在，说明理由。分析：略。解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°AB=2BC=12∴∠A=30°=∠EDF △DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形（2）若存在△DEF~△BDE ∠EDF=30°则∠BDE和∠BED中必须有一个角等于30°显然当D点与C点重合时，∠BDE最小此时∠BDE=60°，≠30°如果∠BED=30°∴∠BDE=90°∴△DEF与△BDE不能相似∴在BC边上不存在点D，使△DEF与△BDE相似例5.已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的（1）求切线BC的表达式。（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标。（3）...
