初中数学两则几何极值问题 试题VIP免费

初中数学两则几何极值问题题1如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的结果用a,b的代数式表示）。图1（1）求S△DBF；（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图2，求图2中的S△DBF；图2（3）把正方形AEFG绕点A旋转任意角度，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，试求出最大和最小值；如果不存在，请说明理由。（04年山东中考）解（1）如图1，连结AC交BD于O，由正方形的性质可知，A、E、O、C四点共线，BD⊥AC，又EF⊥AE，所以EF//BD故（2）如图2，连结AF。因为∠FAG=∠DBA=45°，所以AF//BD，故。（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆。①当b>2a时，存在最大、最小值；因为是定值，故当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S△BFD也取得最大、最小值。如图2所示，当CF2⊥BD时，；②当b=2a时，圆A与BD恰好相切，此时存在最大值，不存在最小值，。题2如图3，已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴正半轴相交于点E，点B的坐标是（－1，0），P是AC上的动点（点P与A、C两点不重合）。图3（1）求点A、E的坐标；（2）若抛物线经过A、E两点，求抛物线的解析式；（3）连接PB、PD，设l为△PBD的周长，当l取最小值时，求点P的坐标及l的最小值，并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的理由。（05年深圳中考）解（1）由题意知A点的横坐标为1，纵坐标应为，所以点A的坐标是（1，）。设直线AB的解析式为。由A、B在直线上，可求得，即，所以点E的坐标是（0，）。（2）因为抛物线经过A（1，）、E（0，）两点，所以解得故抛物线的解析式为（3）如图3，过点D作DF⊥AC于F，延长DF至G，使DF=FG，连结CG，则D点关于AC的对称点为G，CD=CG，∠DCA=∠ACG=60°。再连结BG交AC于Q，连结DQ，则DQ=QG。当点P运动到与点Q重合，即B、P（Q）、G三点共线时，由“两点之间线段最短”知，此时△PBD的周长最小。过G点作GH⊥x轴，垂足为H。因为△ABC是等边三角形，BC=4，所以∠DCA=∠ACG=∠HCG=60°，DC=CG=2。在Rt△CGH中，，，所以OH=OC＋CH=3＋1=4，即G点的坐标为（4，）。所以BH=OB＋OH=1＋4=5，在Rt△GBH中，，此时，△PBD的周长由A（1，），C（3，0）可得直线AC的解析式为。同理可得BG的解析式为。两式联立方程组可解得AC与BG的交点P的坐标为（）；把代入中符合。故此时点P在第（2）小题所求的抛物线上。综上所述，这类试题看似复杂，但是只要综合运用代数和几何知识，逐步求解，并不难以下手。