初三数学圆中的计算问题华东师大版【同步教育信息】一.本周教学内容:圆中的计算问题【知识与技能】1.探索归纳圆的弧长、扇形面积公式,会恰当运用公式进行弧长、扇形面积的有关计算。2.了解圆柱、圆锥的特征,认识圆柱、圆锥的侧面展开图分别是矩形、扇形,并会计算侧面积及全面积。【过程与方法】在探索归纳弧长、扇形面积公式时,体现了“从特殊到一般”的数学思维方法。【情感、态度、价值观】在探求公式过程中,提高推理、归纳能力及应用意思,培养与他人合作能力,进一步发展我们对立体图形的了解,同时也增强空间立体感。【教学过程】1.弧长公式:注意:(1)在弧长公式中,n表示“1°”的圆心角的倍数,在应用公式计算时,“n”和“180”不应再写单位。(2)在计算时,若题目中没有标明精确度,可以用“”表示弧长,如弧长是,,等。(3)在弧长公式中已知中的任意两个量都可以求出第三个量。2.扇形:(1)定义:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。如图:(2)周长:扇形的周长等于弧长加上两个半径的长,即。(3)面积:或注意:①公式中的“n”与弧长公式中“n”的意义一样,表示“1°”圆心角的倍数,参与计算时不带单位。②与三角形面积公式十分相似,为了便于记忆,可以把扇形看作曲边三角形,把弧长看作底,半径r看作底边上的高。③注意二个公式的区别。如:已知半径r、圆心角度数求S,用。已知半径r、弧长求S,用。④已知:四个量中任意两个量,可以求出另外两个量。3.圆柱的侧面积与全面积(1)侧面展开图是矩形,一组对边等于母线长,另一组对边等于底面圆的周长。(2)(r为底面半径,h为高)(3)注意:圆柱有无数条母线,母线长等于圆柱的高。4.圆锥的有关概念圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,如图(1),我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线,连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。5.圆锥的侧面积和全面积沿着圆锥的母线,把圆锥的侧面展开,得到一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线长。如图(2)所示,若圆锥的底面半径为r,母线长为a,则它的侧面积:注意:①圆锥有无数条母线,圆锥的母线长不等于圆锥的高。②圆锥的母线长为侧面展开后扇形的半径,注意与圆锥底面半径区分。6.阴影部分面积的求法常用的有公式法、割补法,还有等积变形法、方程法、对称法等。【典型例题】例1.一圆弧的圆心角为300°,它所对的弧长等于半径为6cm的周长,求该圆弧所在圆的半径。分析:已知弧长与圆周长之间的关系,考虑运用弧长公式和圆周长公式。解:设弧所在圆的半径为R根据题意得:解得:说明:弧长公式中中,三个量已知其中两个量,都可以求出第三个量,其中n没有单位,与R的单位要一致。例2.如图,正△ABC内接于⊙O,边长为4cm,求图中阴影部分的面积。分析:连结OA、OC,阴影部分面积看作是扇形AOC与△AOC的面积之差,所以关键是求⊙O的半径及∠AOC。此题考查组合图形面积的求法及扇形面积公式等。解:连结BO并延长交AC于E,连结OA、OC △ABC是正三角形且内接于⊙O∴BE⊥AC∠AOC=120°,∠AOE=60°∴在中,本题还可另解:例3.如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离,它们的半径都是1,顺次连接五个圆心得五边形ABCDE,求图中五扇形(阴影部分)的面积之和。分析:由已知可知图中每个扇形面积不能单独求出,因为不知圆心角的度数。仔细分析可得五个扇形的圆心角恰为五边形ABCDE的五个内角,因此,可以利用“整体代入”法来完成。解:由扇形面积公式,得阴影部分面积为:说明:“整体代入”的方法是一种常用的、新颖的方法。例4.如图,圆柱的高为50厘米,底面圆的周长为120cm,一只蚂蚁从A点出发绕圆柱的侧面,爬到圆柱的母线AB的另一端B,求蚂蚁爬行的最短路线长。分析:蚂蚁爬行的路线是一条曲线,如何求呢?若将圆柱的侧面沿母线AB展开,则蚂蚁爬行的路线即矩形上A到B的连线,由两点之间线段最短,可求得最短路线长。解:将圆柱侧面沿母线AB展开,则厘米,厘米在中,由勾股定理得:所以蚂蚁的最短路线长为130cm。例5.在手工课上甲、乙两名同学合作,将半径为1米,...