初三数学圆中的计算问题华东师大版【同步教育信息】一.本周教学内容：圆中的计算问题【知识与技能】1.探索归纳圆的弧长、扇形面积公式，会恰当运用公式进行弧长、扇形面积的有关计算。2.了解圆柱、圆锥的特征，认识圆柱、圆锥的侧面展开图分别是矩形、扇形，并会计算侧面积及全面积。【过程与方法】在探索归纳弧长、扇形面积公式时，体现了“从特殊到一般”的数学思维方法。【情感、态度、价值观】在探求公式过程中，提高推理、归纳能力及应用意思，培养与他人合作能力，进一步发展我们对立体图形的了解，同时也增强空间立体感。【教学过程】1.弧长公式：注意：（1）在弧长公式中，n表示“1°”的圆心角的倍数，在应用公式计算时，“n”和“180”不应再写单位。（2）在计算时，若题目中没有标明精确度，可以用“”表示弧长，如弧长是，，等。（3）在弧长公式中已知中的任意两个量都可以求出第三个量。2.扇形：（1）定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。如图：（2）周长：扇形的周长等于弧长加上两个半径的长，即。（3）面积：或注意：①公式中的“n”与弧长公式中“n”的意义一样，表示“1°”圆心角的倍数，参与计算时不带单位。②与三角形面积公式十分相似，为了便于记忆，可以把扇形看作曲边三角形，把弧长看作底，半径r看作底边上的高。③注意二个公式的区别。如：已知半径r、圆心角度数求S，用。已知半径r、弧长求S，用。④已知：四个量中任意两个量，可以求出另外两个量。3.圆柱的侧面积与全面积（1）侧面展开图是矩形，一组对边等于母线长，另一组对边等于底面圆的周长。（2）（r为底面半径，h为高）（3）注意：圆柱有无数条母线，母线长等于圆柱的高。4.圆锥的有关概念圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，如图（1），我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。5.圆锥的侧面积和全面积沿着圆锥的母线，把圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线长。如图（2）所示，若圆锥的底面半径为r，母线长为a，则它的侧面积：注意：①圆锥有无数条母线，圆锥的母线长不等于圆锥的高。②圆锥的母线长为侧面展开后扇形的半径，注意与圆锥底面半径区分。6.阴影部分面积的求法常用的有公式法、割补法，还有等积变形法、方程法、对称法等。【典型例题】例1.一圆弧的圆心角为300°，它所对的弧长等于半径为6cm的周长，求该圆弧所在圆的半径。分析：已知弧长与圆周长之间的关系，考虑运用弧长公式和圆周长公式。解：设弧所在圆的半径为R根据题意得：解得：说明：弧长公式中中，三个量已知其中两个量，都可以求出第三个量，其中n没有单位，与R的单位要一致。例2.如图，正△ABC内接于⊙O，边长为4cm，求图中阴影部分的面积。分析：连结OA、OC，阴影部分面积看作是扇形AOC与△AOC的面积之差，所以关键是求⊙O的半径及∠AOC。此题考查组合图形面积的求法及扇形面积公式等。解：连结BO并延长交AC于E，连结OA、OC △ABC是正三角形且内接于⊙O∴BE⊥AC∠AOC＝120°，∠AOE＝60°∴在中，本题还可另解：例3.如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得五边形ABCDE，求图中五扇形（阴影部分）的面积之和。分析：由已知可知图中每个扇形面积不能单独求出，因为不知圆心角的度数。仔细分析可得五个扇形的圆心角恰为五边形ABCDE的五个内角，因此，可以利用“整体代入”法来完成。解：由扇形面积公式，得阴影部分面积为：说明：“整体代入”的方法是一种常用的、新颖的方法。例4.如图，圆柱的高为50厘米，底面圆的周长为120cm，一只蚂蚁从A点出发绕圆柱的侧面，爬到圆柱的母线AB的另一端B，求蚂蚁爬行的最短路线长。分析：蚂蚁爬行的路线是一条曲线，如何求呢？若将圆柱的侧面沿母线AB展开，则蚂蚁爬行的路线即矩形上A到B的连线，由两点之间线段最短，可求得最短路线长。解：将圆柱侧面沿母线AB展开，则厘米，厘米在中，由勾股定理得：所以蚂蚁的最短路线长为130cm。例5.在手工课上甲、乙两名同学合作，将半径为1米，...
