“鸡兔同笼”问题探讨(张冬梅)VIP免费

“鸡兔同笼”问题探讨（靖边第六小学张冬梅）中国数学会组织部分数学家于2000年8月27日在北京师范大学召开了中国数学会中小学数学教育改革研讨会，香港科技大学项武义教授在会上指出：“现在小学应用题的教法不对。如‘鸡兔同笼’完全可以采取新的教法，运用列举来解决。”（见《数学通报》2000，11）一、什么是“鸡兔同笼”问题今有鸡兔若干，它们共有50个头和140只脚。问鸡兔各有多少只？这类问题就是“鸡兔同笼”问题。解答“鸡兔同笼”问题需要知道两个常识：每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚。“鸡兔同笼”问题是中国古算题，由于其思维训练的价值，一直流传到今。二、“鸡兔同笼”问题的各种解法今有鸡兔若干，它们共有50个头和140只脚。问鸡兔各有多少只？解法1列举法。鸡兔总脚数分析2525150150>140，需要减少兔的只数。2624148继续减少兔的只数。2723146继续减少兔的只数。2822144继续减少兔的只数。2921142继续减少兔的只数。3020140恰好。鸡有30只，兔有20只。解法2砍脚法。如果砍掉每只鸡、每只兔的2只脚，则还剩（只）脚。此时每只鸡已无脚，每只兔还有（只）脚，故知兔有40÷2=20（只），鸡有5020=30（只）。解法3安脚法。如果给每只鸡安装上2只假脚，这样每只鸡和每只兔都有4只脚，可知一共安装了4×50140=60（只）假脚，故知鸡有60÷2=30（只），兔有5030=20（只）。解法4假定法。①假定50只都是鸡，则应有2×50=100（只）脚，比实际少了140100=40（只）脚，而一只鸡比一只兔相差（只）脚，用一只兔来换一只鸡，每换一次脚数就可以增加2只，交换多少次就可以增加40只呢？40÷2=20（次）。交换20次就可以增加40只脚。故知兔有20只，鸡有5020=30（只）。②也可以假定50只都是兔，则应有4×50=200（只）脚，比实际多出了200140=60（只）脚，而一只鸡比一只兔少（只）脚，用一只鸡来换一只兔，每换一次脚数就减少2只，交换多少次就可以减少60只呢？60÷2=30（次）。交换30次就可以减少60只脚。故知鸡有30只，兔有5030=20（只）。解法5长方形图法。依题意画长方形图1，图1中四边形都是长方形。由题意知，图形ABEHFGCDA的面积是140，AE=50，长方形AEHD的面积是2×50=100，故知长方形HFGC的面积是140100=40。在长方形HFGC中知其面积为40，一边长FH=，另一边长GF=40÷2=20。而兔的只数=BE=GF=20，故知兔有20只，鸡有5020=30（只）。这一解法对解法2砍脚法及解法4假定法①都是很好的几何直观解释。图1也可依题意画长方形图2，图2中四边形都是长方形。图2由题意知，图形ABEFGCDA的面积是140，AE=50，长方形AEFH的面积是4×50=200，故知长方形CGHD的面积是200140=60。在长方形CGHD中知其面积为60，一边长CG=，另一边长CD=60÷2=30。而兔的只数=AB=CD，故知鸡有30只，兔有5030=20（只）。这一解法对解法2安脚法及解法4假定法②都是很好的几何直观解释。解法6波利亚法。美国数学大师G波利亚的解法非常巧妙。不妨称为波利亚法。假设出现下面的奇特现象，所有的鸡都抬起一只脚，所有的兔只有后脚站立起来，显然此时鸡的脚数与头数相等，而兔的脚数是头的2倍，脚的总数为原来脚数的一半，所以现在脚的总数70减去头数50所得的差20即为兔的数目。从而鸡的数目为5020=30。解法7方程组法。略。上述各种解法各有千秋。砍脚法、安脚法及长方形图法都较为直观易懂，容易为学生接受。列举法若将各种情况都一一列举则显得冗长，若能从鸡兔数目很接近开始考虑再加上分析则可减少列举次数。假定法往往通过假定某种现象的存在（如看成兔），则发生了和题目条件不同的差异（如脚多了），而每个单个事物造成的差异是固定的（如多算一兔就要多算2只脚），从而找出差异的原因（如实际有多少兔），使问题得到解决。实际上砍脚法、安脚法及波利亚法都是假定法的具体使用。方程组法虽通用但小学未学。三、“鸡兔同笼”问题1.一个笼子中装有蛇和蜥蜴，若头的总数是16，足的总数是52。问笼中有几条蛇和几条蜥蜴？2.“六一”儿童节，六年级一班46名同学到公园去划船，一共乘坐10只船，其中大船每只坐6人，小船每只坐4人。大船和小船各有几只？3.用25根长度分别为8米和5米的两种规格的管子铺一段170米的管道，...