“鸡兔同笼”问题探讨(靖边第六小学张冬梅)中国数学会组织部分数学家于2000年8月27日在北京师范大学召开了中国数学会中小学数学教育改革研讨会,香港科技大学项武义教授在会上指出:“现在小学应用题的教法不对。如‘鸡兔同笼’完全可以采取新的教法,运用列举来解决。”(见《数学通报》2000,11)一、什么是“鸡兔同笼”问题今有鸡兔若干,它们共有50个头和140只脚。问鸡兔各有多少只?这类问题就是“鸡兔同笼”问题。解答“鸡兔同笼”问题需要知道两个常识:每只鸡有2只脚,每只兔有4只脚。“鸡兔同笼”问题是中国古算题,由于其思维训练的价值,一直流传到今。二、“鸡兔同笼”问题的各种解法今有鸡兔若干,它们共有50个头和140只脚。问鸡兔各有多少只?解法1列举法。鸡兔总脚数分析2525150150>140,需要减少兔的只数。2624148继续减少兔的只数。2723146继续减少兔的只数。2822144继续减少兔的只数。2921142继续减少兔的只数。3020140恰好。鸡有30只,兔有20只。解法2砍脚法。如果砍掉每只鸡、每只兔的2只脚,则还剩(只)脚。此时每只鸡已无脚,每只兔还有(只)脚,故知兔有40÷2=20(只),鸡有5020=30(只)。解法3安脚法。如果给每只鸡安装上2只假脚,这样每只鸡和每只兔都有4只脚,可知一共安装了4×50140=60(只)假脚,故知鸡有60÷2=30(只),兔有5030=20(只)。解法4假定法。①假定50只都是鸡,则应有2×50=100(只)脚,比实际少了140100=40(只)脚,而一只鸡比一只兔相差(只)脚,用一只兔来换一只鸡,每换一次脚数就可以增加2只,交换多少次就可以增加40只呢?40÷2=20(次)。交换20次就可以增加40只脚。故知兔有20只,鸡有5020=30(只)。②也可以假定50只都是兔,则应有4×50=200(只)脚,比实际多出了200140=60(只)脚,而一只鸡比一只兔少(只)脚,用一只鸡来换一只兔,每换一次脚数就减少2只,交换多少次就可以减少60只呢?60÷2=30(次)。交换30次就可以减少60只脚。故知鸡有30只,兔有5030=20(只)。解法5长方形图法。依题意画长方形图1,图1中四边形都是长方形。由题意知,图形ABEHFGCDA的面积是140,AE=50,长方形AEHD的面积是2×50=100,故知长方形HFGC的面积是140100=40。在长方形HFGC中知其面积为40,一边长FH=,另一边长GF=40÷2=20。而兔的只数=BE=GF=20,故知兔有20只,鸡有5020=30(只)。这一解法对解法2砍脚法及解法4假定法①都是很好的几何直观解释。图1也可依题意画长方形图2,图2中四边形都是长方形。图2由题意知,图形ABEFGCDA的面积是140,AE=50,长方形AEFH的面积是4×50=200,故知长方形CGHD的面积是200140=60。在长方形CGHD中知其面积为60,一边长CG=,另一边长CD=60÷2=30。而兔的只数=AB=CD,故知鸡有30只,兔有5030=20(只)。这一解法对解法2安脚法及解法4假定法②都是很好的几何直观解释。解法6波利亚法。美国数学大师G波利亚的解法非常巧妙。不妨称为波利亚法。假设出现下面的奇特现象,所有的鸡都抬起一只脚,所有的兔只有后脚站立起来,显然此时鸡的脚数与头数相等,而兔的脚数是头的2倍,脚的总数为原来脚数的一半,所以现在脚的总数70减去头数50所得的差20即为兔的数目。从而鸡的数目为5020=30。解法7方程组法。略。上述各种解法各有千秋。砍脚法、安脚法及长方形图法都较为直观易懂,容易为学生接受。列举法若将各种情况都一一列举则显得冗长,若能从鸡兔数目很接近开始考虑再加上分析则可减少列举次数。假定法往往通过假定某种现象的存在(如看成兔),则发生了和题目条件不同的差异(如脚多了),而每个单个事物造成的差异是固定的(如多算一兔就要多算2只脚),从而找出差异的原因(如实际有多少兔),使问题得到解决。实际上砍脚法、安脚法及波利亚法都是假定法的具体使用。方程组法虽通用但小学未学。三、“鸡兔同笼”问题1.一个笼子中装有蛇和蜥蜴,若头的总数是16,足的总数是52。问笼中有几条蛇和几条蜥蜴?2.“六一”儿童节,六年级一班46名同学到公园去划船,一共乘坐10只船,其中大船每只坐6人,小船每只坐4人。大船和小船各有几只?3.用25根长度分别为8米和5米的两种规格的管子铺一段170米的管道,...