1.5.3定积分的概念 (4)VIP免费

求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法(2)取近似求和:任取i[xi1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(i)而宽为x的小矩形面积f(i)x近似之。(3)取极限:所所所所梯形的面积S为取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xiy=f(x)xyObaxi+1i所x1lim()niniSfx1()niiSfx(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿xban11211,,,,,,,,,iinaxxxxxxb知识回顾：11()()nnniiiibaSfxxfxn小矩形面积和如果当n+∞时，Sn就无限接近于某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作baf(x)dx，即f(x)dxf(i)xi。从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四个步骤”:分割---以直代曲----求和------逼近.定积分的定义:一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间[a,b]等分成n个小区间,每个小区的长度为,在每个小区间上取一点,依次为x1,x2,…….xi,….xn,作和如果无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作:.)(nabxxx)f(xx)f(xx)x(fSn21nbaSf(x)dxx定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)dx—叫做被积表达式，f(x)——叫做被积函数,x———叫做积分变量，a———叫做积分下限，b———叫做积分上限，[a,b]—叫做积分区间。()baSfxdx被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限()baSfxdxSbaf(x)dx；按定积分的定义，有(1)由连续曲线yf(x)(f(x)0)，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为(2)设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为();baSvtdt(3)设物体在变力FF(r)的方向上有位移，则F在位移区间[a,b]内所做的功W为().baWFrdr1.dxxf)(与badxxf)(的差别3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有bababaduufdttfdxxf)()()(4．规定：abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxfdxxf)(是)(xf的全体原函数是函数badxxf)(是一个和式的极限是一个确定的常数注：2.当xfini)(1的极限存在时，其极限值仅与被积函数及积分区间有关，而与区间ba,的分法及i点的取法无关。f(x)[a,b]定积分的几何意义.当f(x)≥0，定积分badxxf)(的几何意义就是bAoxyay=f(x)S曲线y=f(x)直线x=a，x=b，y=0所围成的曲边梯形的面积baSf(x)dx:即当函数f(x)0，x[a,b]时定积分几何意义badxxf)(Sdxxfba)(即就是位于x轴下方的曲边梯形面积的相反数.oxyaby=f(x)S当函数f(x)在x[a,b]有正有负时,定积分几何意义badxxf)(321baSSSf(x)dx即就是图中几个曲边图形面积的代数和,(x轴上方面积取正号,x轴下方面积取负号)OXS2S1yS3abyf(x)Oxy()ygx探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?abyf(x)Oxy1()baSfxdx()ygx12()()bbaaSSSfxdxgxdx2()baSgxdx例1：计算下列定积分.求定积分，只要理解被积函数和定积分的意义，并作出图形，即可解决。例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图①中，被积函数（,0)(]0[)(12xfaxxf解：dxxAa200000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1①②③④积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图②中，被积函数（,0)(]21[)(22xfxxf解：dxxA2210000ayxyxyxyx-12ab-12①②③④f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图③中，被积函数（,0)(][1)(3xfbaxf解：dxAba0000ayxyxyxyx-12ab-12①②③④f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义，上，在上，上连续，且在，在）在图④中，被积函数（0)(]20[,0)(]01[]21[1)1()(42xfxfxxf解：dxxdxxA]1)1[(]1)1[(2202010000ayxyxyxyx-12ab-12①②③④f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1成立。...