构建一次函数解题(发表于《初中生》)VIP专享VIP免费

走进一次函数的应用发表于《初中生（初二）》2009年12月第35期江西省安福县城关中学曹经富343200afcjf@126.com联系：13970646968QQ：850398711在近几年的各地中考中，一次函数的建模与应用常常深受命题者的青睐和关注，这类试题的信息容量大，背景丰富，一般通过表格、图象、文字、背景等表达出来，这要求我们同学要通过分析、读图、识图、析图方可有所发现，必要时还要进行画图，只有弄懂弄清图象表征的本质含义，解题方案才会水到渠成。一、在生活情景中构建与应用例1：某天早晨，小明到校后发现忘记带数学课本，一看表，离上课还有20分钟，他立刻步行返回家中取书，同时，他的父亲发现小明没带课本，带上课本立即以小明步行速度的2倍骑车赶往学校，两人在途中相遇，小明拿到课本后按原速步行回校，到学校时发现迟到了4分钟，下图是父子俩离校的路程s（米）与所用时间t(分)之间的函数关系，请结合图象回答下列问题：（1）小明家离学校多远？说出A点的实际意义；（2）两人相遇处离学校多远？（3）求小明父亲前往学校的路程s与时间t的函数关系式；（4）设想若小明相遇拿到课本后，改由其父亲骑车送他前往学校，他还会迟到吗？若会，迟到几分钟，若不会，能提前几分钟到校？思路点拨：结合题意，可知，小明与父亲是两人者相向而行，根据函数图象可知的A点的意义是两人相遇，由此便可得出小明的路程+父亲的路程=2880，求出两人的速度。进而计算出相遇时离学校的距离，从而确定出A点的坐标，再利用待定系数法求出小明父亲前往学校的路程s与时间t的函数关系式；解析：（1）小明家离学校2880米，A点的实际意义是表示父子两人经过12分钟相遇；（2）设小明的速度为x米/分，小明父亲的速度为2x米/分，得12（x+2x）=2880；解得x=80；求出两人相遇处离学校960米；（3）设s=kx+b；过（0，2880）；（12，960）得;;解得：；即；（4）由其父亲骑车送他前往学校，即s=0；也就是；得；；不会迟到，能提前2分钟到校。点评：本题以发生在同学身边的事情为背景，取材特别新颖而又熟悉，关键在于学会透过现象看本质，会将现实生活中的实际问题转化为数学模型，通过建立方程、函数、不等式等相关知识解决实际问题，善于从文字、图象中挖掘潜在的等量关系进行切入，切合客观实际注意知识点的分析与综合。二、在生活图景中构建与应用例2、小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：49cm30cm36cm3个球有水溢出s（米）OA?122880t（分）请根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球量桶中水面升高___________；（2）求放入小球后量桶中水面的高度（）与小球个数（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）量桶中至少放入几个小球时有水溢出？思路点拨：水面的高度随着放入小球的个数的变化而变化，成一次函数关系，从生活图景中可以收集到放入零个球的水面高度为30cm，放入3个小球的水面高度为36cm.从则构建成一次函数求解。解析：（1）由图可知，放入三个小球后水面升高6，由此可知放入一个小球量桶升高．（2）由图中观察可得出一组变量：当0个小球时水面高度为30，当放入3个小球时水面高36，由此可设，把，代入得：解得即．（3）有水溢出可知水面高度超过49，即，得，即至少放入个小球时有水溢出．点评：从现实生活、经典的故事中取材、立意，创设熟悉的生活图景，是近年的中考热点。主要是考查我们从中获取信息，分析和处理数据的能力，能将实际问题转化为数学问题。为此要求我们能用数学的眼光发现素材，从数学的角度进行有关知识的构建与建模，进而分析和解决日常生活中的实际问题。三、在表格情境中构建与应用例3、某商场欲购进A、B两种品牌的饮料500箱，此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元。⑴求y关于x的函数关系式？⑵如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润。（注：利润＝售价－成本）品牌AB进价（元/箱）5535售价（元/箱）6340思路点拨：由表格中的信息可得到A、B两种品牌每箱的利润，再根据它们的数量求...