1.2.2充要条件1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假.学习目标知识梳理自主学习知识点一充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p就记作.此时，我们说，p是q的，简称.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q.答案p⇔q充分必要条件充要条件互为充要条件思考(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？答案(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？答案正确.若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确.答案①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.知识点二常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：原命题逆命题p与q的关系真真p是q的充要条件q是p的充要条件真假p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件假真p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件假假p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件知识点三从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.返回例一：下列各题中,哪些p是q的充要条件?(1)p:b=0,q:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数;(2)p:x>0,y>0,q:xy>0;(3)p:a>b,q:a+c>b+c.答案在(1)(3)中,pq互相推出,所以(1)(3)中的p是q的充要条件.在(2)中,q推不出p,所以(2)中的p不是q的充要条件.题型一充要条件的判断题型探究重点突破题型一充要条件的判断例1(1)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析答案解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.A(2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：sinA>sinB；②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；③p：|x|>3，q：x2>9.解析答案反思与感悟解在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔sinA>sinB，所以p是q的充要条件.解若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件.解由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件.跟踪训练1(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是()A.ab＝0B.ab>0C.a2＋b2＝0D.a2＋b2>0解析答案解析a2＋b2>0，则a、b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.D(2)“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是________.解析答案解析函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点.故“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是a<－1.a<－1题型二充要条件的证明例2求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2.解析答案反思与感悟解析答案跟踪训练2求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.返回证明①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx，因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.②必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以b＝0.综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.当堂检测123451.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当a＋b＝0时，得a＝－b，所以a∥b，但若a∥b，不一定有a＋b＝0.A解析答案123452.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B，当A⊆B时，a＝2或3.A解...
