1.2.1余弦定理 (3)VIP免费

学习目标：1、掌握余弦定理及其证明方法；2、初步掌握余弦定理的应用。1、正弦定理可以解决三角形中的问题：RCcBbAa2sinsinsin正弦定理：复习回顾：①已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角已知两角和一边，求其他角和边②RCcBbAa2sinsinsin正弦定理：3、大角对大边，大边对大角4、正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化复习回顾：2、A+B+C=π实际问题隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC已知：AB、AC、角Ａ(两条边、一个夹角)实际问题实际问题数学化:在△ABC中，已知边AC，AB及∠A,求BC.ABc分析转化任意一个三角形，已知两边和夹角，求第三边.一般化问题a=?若△ABC为任意三角形，已知AC=b，AB=c及∠A，求BC边长a.即ABcbcbCcaAB证明：以AB所在的直线为x轴，过A点垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：(cos,sin)CbAbA222a=b+c-2bccosA∴xy(,0)Bc(0,0)A坐标法222(cos)(sin0)BCbAcbA22222cos2cossinbAbcAcbA222cosbcbcA三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.222-c=a+b2abcosC222-a=b+c2bccosA222-b=a+c2accosB余弦定理ABCabc余弦定理问题1：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？剖析定理勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.问题2：公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美;（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）剖析定理222-c=a+b2abcosC222-a=b+c2bccosA222-b=a+c2accosB（3）已知a、b、c（三边），可以求什么？bcacbA2cos222acbcaB2cos222abcbaC2cos222剖析定理（1）已知三边求三个角；222b+cacosA=-2bc222a+cbcosB=-2ac222a+bccosC=-2ab问题3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.222-c=a+b2abcosC222-a=b+c2bccosA222-b=a+c2accosB剖析定理例1在△ABC中，（1）已知b=3，c=1，A=60°，求a；（2）已知a=7，b=10，c=6，求最大角的余弦值。讨论解问（2）已知a=7，b=10，c=6，求最大角的余弦值。例例22、用余弦定理证明：在△、用余弦定理证明：在△ABCABC中，当中，当∠∠CC为锐角时，；当为锐角时，；当∠∠CC为钝角时，。为钝角时，。222abc222abc讨论解问思考：已知三角形三边长为a,b,c,怎样判断△ABC是锐角三角形，直角三角形还是钝角三角形？已知条件定理选用一般解法一边和二角(如a,B,C)两边和夹角(如a,b,C)两边和其中一边的对角(如a,b,A)三边(a,b,c)由A+B+C=180°求角A,由正弦定理求出b与c.解三角形的四种基本类型正弦定理余弦定理由余弦定理求出第三边c，再由正弦定理求出剩下的角.正弦定理由正弦定理求出角B,再求角C,最后求出c边.可有两解,一解或无解.余弦定理先由余弦定理求出其中两个角,再利用内角和为180°求出第三个角.1.余弦定理推论222b+c-acosA=，2bc222c+a-bcosB=，2ca222a+b-ccosC=2ab2.余弦定理的作用（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角课堂小结CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222感谢大家