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2015新课标高考总复习数学（理）课时限时检测(四十四)空间向量及其运算(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难空间向量线性运算2,7空间向量共线、共面问题1,410空间向量数量积及其应用36,8,911综合应用问题12一、选择题(每小题5分，共30分)1．有四个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p＝xa＋yb；③若MP＝xMA＋yMB，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP＝xMA＋yMB.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】①正确，②中若a、b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立；③正确，④中若M、A、B共线，点P不在此直线上，则MP＝xMA＋yMB不正确，故选B.【答案】B2．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则(x，y，z)为()A.B.C.D.【解析】OG1＝OA＋AG1＝OA＋×(AB＋AC)＝OA＋[(OB－OA)＋(OC－OA)]＝(OA＋OB＋OC)，由OG＝3GG1知，OG＝OG1＝(OA＋OB＋OC)，∴(x，y，z)＝.【答案】A3．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为()A．－2B．－C.D．2服/务/教/师超/值/馈/赠2015新课标高考总复习数学（理）【解析】由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.【答案】D4．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝()A．9B．－9C．－3D．3【解析】由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，∴解得λ＝－9.【答案】B5．A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，M为BC中点，则△AMD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定【解析】 M为BC中点，∴AM＝(AB＋AC)．∴AM·AD＝(AB＋AC)·AD＝AB·AD＋AC·AD＝0.∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．【答案】C6．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则AE·AF的值为()A．a2B.a2C.a2D.a2【解析】设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.AE＝(a＋b)，AF＝c，∴AE·AF＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.【答案】C二、填空题(每小题5分，共15分)7．若三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)在同一条直线上，则a＝________，b＝________.服/务/教/师超/值/馈/赠2015新课标高考总复习数学（理）【解析】AB＝(1，－1,3)，AC＝(a－1，－2，b＋4)，因为三点共线，所以存在实数λ使AC＝λAB，即解得a＝3，b＝2.【答案】32图7－6－78．空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________．【解析】由题意知AO·BC＝AO·(AC－AB)＝AO·AC－AO·AB＝8×4×cos45°－8×6×cos60°＝16－24.∴cos〈AO，BC〉＝＝＝.∴OA与BC所成角的余弦值为.【答案】图7－6－89．如图7－6－8所示，在45°的二面角α－l－β的棱上有两点A、B，点C、D分别在α、β内，且AC⊥AB，∠ABD＝45°，AC＝BD＝AB＝1，则CD的长度为________．【解析】由CD＝CA＋AB＋BD，cos〈AC，BD〉＝cos45°cos45°＝，∴〈AC，BD〉＝60°，∴|CD|2＝CA2＋AB2＋BD2＋2(CA·AB＋AB·BD＋CA·BD)＝3＋2×(0＋1×1×cos135°＋1×1×cos120°)＝2－，∴|CD|＝.【答案】三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)如图7－6－9所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.服/务/教/师超/值/馈/赠2015新课标高考总复习数学（理）图7－6－9(1)求证：A、E、C1、F四点共面；(2)若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，求x＋y＋z的值．【解】(1)证明 AC1＝AB＋AD＋AA1＝AB＋AD＋AA1＋AA1＝＋＝(AB＋BE)＋(AD＋DF)＝AE＋AF.∴A、E、C1、F四点共面．(2) EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE)＝AD＋DD1－AB－BB1＝－AB＋AD＋AA1.∴x＝－1，y＝1，z＝.∴x＋y＋z＝.11．(12分)已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b？(O为原点)【解】(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝＝...