不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：abba(2)传递性：ab,bcac(3)加法法则：abacbc；ab,cdacbd(同向可加)(4)乘法法则：ab,c0acbc；ab,c0acbcab0,cd0acbd(同向同正可乘)(5)倒数法则：ab,ab011ab(6)乘方法则：ab0anbn(nN*且n1)(7)开方法则：ab0nanb(nN*且n1)2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0a0的解集：设相应的一元二次方程ax2bxc0a0的两根为x、x且xx，b24ac，1212则不等式的解的各种情况如下表：000二次函数2yaxbxc2yaxbxc2yaxbxc2yaxbxc（a0）的图象（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax2abxc00的根x1,x2(x1x2)x1x2b2a无实根ax2(abxc00)的解集xxx1或xx2xxb2aRax2(abxc00)的解集xx1xx22、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。f(x)g(x)0f(x)g(x)0;f(x)g(x)0f(x)g(x)0g(x)03、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxminA若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解（四）基本不等式abab21.若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号ab2.如果a,b是正数，那么2ab(当且仅当a2b时取""号).变形：有:a+b≥2ab；ab≤ab2,当且仅当a=b时取等号3.如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值2P2如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值S.4注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（1）a2b22abab22(根据目标不等式左右的运算11结构选用)；（2）a、b、cR，a2b2c2ababbcca（当且仅当abc时，取等号）；（3）若ab0,m0，则bbmaam（糖水的浓度问题）。不等式主要题型讲解（一）不等式与不等关系题型一：不等式的性质1.对于实数a,b,c中，给出下列命题：①若ab,则ac2bc2；②若ac222bc2,则ab；11③若ab0,则ababb；④若aab0,则；ab⑤若ab0,则a；⑥若abb0,则ab；⑦若cab0,则acab11；⑧若ab,，则acbab0,b0。其中正确的命题是题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2.设a2，pa1，qa2a24a2，试比较p,q的大小3.比较1+logx3与2logx2...
