3第6节函数展开成幂级数之前，给定幂级数，求它的和函数。现在我们反过来，给定函数，找一个幂级数使得在某个区间内。（6.1）这称为把函数展开成的幂级数。6.1函数展开成幂级数的条件首先，假设在区间内能展开成幂级数(6.1)．由定理5.5，在区间内任意阶可导，且可对(6.1)式两边逐项求导．从而，都有：，，，在以上各式中令，就得到，，，，，也就是说，如果在区间内能展开成幂级数(6.1)，则(6.1)一定是如下唯一的：，(6.2)幂级数的系数为22离散数学，．其次，任意给了在处有任意阶导数的，我们总可以写出以下右边的幂级数(6.3)我们称右边幂级数为函数在处的Taylor级数，当时称为的Maclaurin级数。注意：在（6.3）中，我们不写等号“=”而只写了“”，因为右边幂级数是否收敛？收敛时，和函数是否等于？都还是很大的问题。由第3章中的Taylor公式，若函数在内阶可导,则,有，其中，介于与之间，是在处Taylor级数的部分和．不难看出，如果在区间内有任意阶导数，则，即在内Taylor级数收敛于的充要条件是．因此有如下定理：定理6.1设函数在区间内存在任意阶导数，则在内能展开成Taylor级数的充分必要条件是，．由定理6.1，可以得到在内展开成Taylor级数的一个便于应用的充分条件：推论6.1设函数在区间内存在任意阶导数，如果存在常数，使得对于任意的，存在，只要就有，则能在内展开成Taylor级数．23第1章集合如果能在内展开成它在处的Taylor级数，即等式(6.2)成立，则称此等式为在处的Taylor展开式．时，有(6.4)称为的Maclaurin展开式．思考题:1.若在内满足定理6.1的条件,试给出近似代替的次多项式,并给出误差的表达式．6.2函数展开成幂级数的方法现在我们讨论怎样把函数展开成的幂级数(即Taylor级数)．这里先讨论怎样把函数展开成的幂级数,即Maclaurin级数．【例6.1】将函数展开成的幂级数．解首先在区间内存在任意阶导数，且,,于是得幂级数它的收敛区间为(例5.1(2)),对于任意固定的，有，．是与无关的有常数，不难证明（，的收敛半径。因此，收敛，从而）,因此有,从而，故得到(6.5)22离散数学把函数展开成Maclaurin级数的方法总结：（1）找到存在任意阶导数的区间并求出导数；（2）利用拉格朗日余项估计并证明；（3）写出的Maclaurin展开式。一般来说，是右边幂级数的收敛域。把函数展开成点的Taylor级数的方法：（1）作变换，；（2）（用上面方法）写出的Maclaurin展开式；（3）代回得在点的Taylor级数展开式其中在变换下与对应。思考题:2．求次多项式函数的幂级数展开式．3.试归纳得出将展开成的幂级数的主要步骤．23第1章集合【例6.2】将函数展开成的幂级数．解首先在区间内存在任意阶导数，且于是得幂级数，容易求出它的收敛半径为,故收敛区间为．又因为，,都有由推论6.1,得，(6.6)图6.1画出了的幂级数展开式的前项部分和的图形以及的图形．从图中可以看到，各个只在的局部范围内近似于，当距离原点较远时，误差就变得很大，但同时又不难看出，随着的增大，与相互接近的范围也不断扩大．(6.6)式说明，当时，的图形就与的图形趋于一致了．以上求函数的幂级数展开式的方法称为直接法．由于求Taylor系数的工作量较大，因此的Taylor级数往往并不容易得到，而且验证满足可展开的条件的难度也较大，因此应用直接法往往比较困难．根据函数展开为幂级数的唯一性，利用某些已知的函数的展开式并结合幂级数的运算性质，如四则运算，逐项求导，逐项积分以及变量替换，也可以将所给函数展开成幂级数，这种方法称为间接展开法．间接法不需要求导也不需要验-10-5510-4-224图6.122离散数学证。因此常常用间接法求函数的幂级数展开式．以例说明。【例6.3】将下列函数展开成的幂级数．(1)；(2)．解(1)对的展开式(6.6)关于逐项求导得（(6.6)对，逐项求导也对）(6.7)(2)。将上式从到逐项积分,并注意到，得,．由于上式右边的级数在的右端点处收敛，在左端点处发散，而在处连续，故有(6.8)使用间接法也容易得到如：，．，．23第1章集合为了间接展开的需要，请（结合麦克劳琳公式）记住以下麦克劳琳展开式：，22离散数学思考题：4.函数的定义域与它的幂级数展开式成立的范围总是一致的吗？使得具有各阶...
