第11讲函数的值域与最值VIP免费

理解函数的单调性、值域和最值的概念；掌握求函数的值域和最值的常用方法与变形手段．0011________________.2()()_______.yfxIMxIfxMxIfxMMyfxfx函数的值域是①的集合，它是由定义域和对应法则共同确定的，所以求值域时应注意函数的②函数的最值．设函数的定义域为，如果存在实数满足：ⅰ对于任意的，都有；ⅱ存在，使得，则称是函数的③类似地可定义．函数的值域与最值的最小值．2．基本初等函数的值域(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为④__________．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为⑤__________；当a<0时，值域为⑥__________．(3)反比例函数y＝kx(k≠0)的值域为⑦__________．4(01)________.5log(01)______.6sin()cos()_________tan()2__________.xayaaayxaayxxyxxyxxkkRRZ指数函数且的值域为⑧对数函数且的值域为⑨正、余弦函数的值域为⑩；正切函数，的值域为3()41[][24]3fxabfxab二次函数用配方法．单调性法．导数法．复合函数的值域由中间变量的范围确定．此外还有．求函数的值域最值常用的方法．若为闭区间，上的连续函数，则换元法、在，数形结合上一法、基本不等式法等．定有最大、最小值．2244[)(]44{|0}(0)1,1acbacbaayyRRR①函数值；②定义域；③最大值；④；⑤，；⑥，；⑦；⑧，；⑨【要点指南；⑩；】1.函数y＝3x(－1≤x≤3，且x∈Z)的值域是{－3,0,3,6,9}.【解析】由－1≤x≤3，且x∈Z⇒x＝－1,0,1,2,3，代入y＝3x，得所求值域为{－3,0,3,6,9}．2.函数y＝3－|x|的值域是()A．{y|y≤0}B．{y|y≥1}C．{y|y≤1}D．{y|00，－(2x＋1x)＝(－2x)＋(－1x)≥2－2x·－1x＝22，即2x＋1x≤－22，2x＋1x－1≤－22－1，即f(x)≤－22－1，当且仅当－2x＝－1x，即x＝－22时取等号，此时函数f(x)有最大值，选A.5.函数y＝3x＋6－8－x的值域为[－10，30].【解析】由3x＋6≥08－x≥0，得定义域为[－2,8]，又f(x)为增函数，所以y∈[－10，30]．一值域与最值的关系【例1】(1)已知函数y＝f(x)的值域为集合D，函数y＝f(x)的最大值、最小值分别为M、N，则M、N、D的关系是()A．D＝[N，M]B．M>D>NC．D⊇[N，M]D．M∈D、N∈D【解析】(1)不妨设f(x)＝3x(－1≤x≤3，且x∈Z)，可知D＝{－3,0,3,6,9}，M＝9，N＝－3，可知，A、B、C错误，选D.(2)已知f(x)与g(x)是定义在R上的连续函数，如果f(x)与g(x)仅当x＝0时的函数值为0，且f(x)≥g(x)，那么下列情形不可能出现的是()A．0是f(x)的最大值，也是g(x)的最大值B．0是f(x)的最小值，也是g(x)的最小值C．0是f(x)的最大值，但不是g(x)的最值D．0是f(x)的最小值，但不是g(x)的最值【解析】(2)方法1：若0是f(x)的最大值，则f(x)≤0.又g(x)≤f(x)，所以g(x)≤0且g(0)＝0，所以0也是g(x)的最大值，故选C.方法2：(特例排除法)若f(x)＝－x2，g(x)＝－2x2，则A成立；若f(x)＝x2，g(x)＝12x2，则B成立；若f(x)＝|x|，g(x)＝x，则D成立．故可排除A、B、D，所以选C.【点评】(1)函数的值域是函数值的集合，函数的最值是该集合中的元素．(2)当函数y＝f(x)在其定义域上是连续函数时，D＝[N，M]，其中N＝f(x)min，M＝f(x)max.二函数值域的求法【例2】求下列函数的值域，并标明最值．(1)y＝－x2－6x－5；(2)y＝2x2＋2x＋5x2＋x＋1；(3)y＝x＋1－x2.【解析】(1)令u＝－x2－6x－5＝－(x＋3)2＋4≤4，所以0≤u≤4，所以0≤y≤2，故y＝f(x)的值域为{y|0≤y≤2}，最大值为2，最小值为0.(2)方法1：用判别式法，由y＝2x2...