§9.5椭圆[高考调研明确考向]考纲解读考情分析•了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．•掌握椭圆的定义、标准方程及简单的几何性质.•椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点，而直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点．•定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的形式考查，而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、不等式等的综合题常以解答题的形式考查，属中、高档题目.知识梳理1.椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(□1______|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的□2____，两焦点间的距离叫做□3______.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}．(1)若□4____________，则集合P为椭圆；(2)若□5____________，则集合P为线段；(3)若□6____________，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形答案：□1大于□2焦点□3焦距□4a＞c□5a＝c□6a＜c□7坐标轴□8原点□9(－a,0)□10(a,0)□11(0，－b)□12(0，b)□13(0，－a)□14(0，a)□15(－b,0)□16(b,0)□172a□182b□192c□20(0,1)□21a2－b2名师微博●一条规律椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：给出椭圆方程x2m＋y2n＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔m＞n＞0；椭圆的焦点在y轴上⇔0＜m＜n.●两种方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程．●三种技巧(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴.基础自测1.已知△ABC的顶点B、C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．23B．6C．43D．12解析：如图，设椭圆的另外一个焦点为F，则△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝(|AB|＋|BF|)＋(|AC|＋|CF|)＝4a＝43.答案：C2如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．(0,1]解析：由x2＋ky2＝2，得x22＋y22k＝1. 椭圆的焦点在y轴上，∴2k＞2，即1k－1＞0，∴1－kk＞0⇔k(k－1)＜0.∴0＜k＜1.答案：A3．椭圆x2m＋y24＝1的焦距等于2，则m的值为()A．5或3B．8C．5D．16解析：当m＞4时，m－4＝1，m＝5；当m＜4时，4－m＝1，m＝3.答案：A4．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为()A．9B．1C．1或9D．以上都不对解析：由题意知b＝3，又e＝a2－b2a2＝1－9a2＝45，得a＝5.∴c＝a2－b2＝4.∴焦点F到长轴的一个端点的距离为1或9.答案：C5．(2011·郑州模拟)如图，A、B、C分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为()A.－1＋52B．1－22C.2－1D.22解析： ∠ABC＝90°，∴|BC|2＋|AB|2＝|AC|2，∴c2＋b2＋a2＋b2＝(a＋c)2.又b2＝a2－c2，∴e2＋e－1＝0，e＝±5－12， 0＜e＜1，∴e＝5－12.答案：A[例1](2013·青岛质检)已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.考点一椭圆定义的应用解析：由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1→⊥PF2→.∴|PF1→|2＋|PF2→|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，∴|PF1||PF2|＝2b2，∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝12×2b2＝b2＝9.∴b＝3.答案：3方法点睛椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．变式训练1(2013·吉林质检)设...
