【名师导航】圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．【热点难点精析】在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征．解答此类问题的基本策略有以下两种：1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关．2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关．（苏教版选修2-1-P.54思考运用12）设过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和抛物线有两个交点，且两个交点的纵坐标为y1，y2，求证：y1·y2=-p2【解析】本题考查直线与抛物线的交点个数问题，注意将交点坐标转化为方程的根来讨论.已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点坐标为(，0)，设过焦点的直线方程为：y=k(x-),则有，代入抛物线方程有：y2=2P()即∴y1·y2=-p2.解析几何中定值问题的探究江苏省扬中高级中学数学组教学目标：知识与能力：掌握解析几何中有关定值问题的求解方法；过程与方法：由一个问题的引申、探究、应用，培养学生观察分析问题和等价转化的能力，培养学生类比的思想，函数方程的思想，消元的思想，数形结合的思想；情感态度与价值观：鼓励学生积极参与，积极探究，培养学生合作交流的能力，使学生学会思考和感悟。教学重点：解析几何中有关定值问题的求解方法教学难点：解析几何中有关定值问题的求解方法，如何灵活运用已知条件巧设变量一、问题引入：已知圆为过圆心的一条弦，为圆上任意一点，，且不为0，试判断为定值。思考：将圆压扁变成椭圆，是否还有类似的结论？若是过椭圆中心的一条弦，为椭圆上任意一点，且直线与坐标轴不平行，分别表示直线的斜率，则_________.已知椭圆的离心率为，一条准线为，若椭圆与轴交于两点，是椭圆上异于的任意一点，直线交直线于点，直线交直线于点，记直线，的斜率分别为.（1）求椭圆的方程；（2）求的值；（3）求证：以为直径的圆过轴上的定点，并求出定点的坐标。（11年18）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k>0，求证：PAPB⊥解析：（1）M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),所以（2）由得，，AC方程：即：所以点P到直线AB的距离（3）法一：由题意设，A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，，两式相减得：法二：设,A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,,两式相减得：,,【失分警示】第(Ⅰ)小问常见错误是联解直线AP与直线MN的方程组.求出交点坐标(用k表示)，再由中点坐标公式构建关于k的方程求k.运算复杂，步骤较多，易造成计算错误或耗时失分.处理第(Ⅱ)小问思维受阻后，如果利用第(Ⅲ)小问的结论通过面积法求点P到直线AB的距离，事实上并不太容易，需要联解方程组,当然利用kPB＝-可较快求出B点坐标.【评析】本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，是解析几何的经典题型.对考生的运算能力有较高的要求，对考生的心理素质的要求也较高，属难题.（09辽宁）已知,椭圆C经过点A(1,),两个焦点为(－1,0),(1,0).(1)求椭圆C的方程;(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.【答案】解:(1)由题意,c＝1,可设椭圆方程为,因为A在椭圆上,所以,解得b2＝3,(舍去).所以椭圆方程为.(2)设直线AE方程:,代入得(3+4k2)x2+4k(3－2k)x+4()2－12＝0.设E(xE,yE),F(xF,yF),因为点A(1,)在椭圆上,所以,.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以－k代k,可得,.[来源:学§科§网]所以直线EF的斜率,即直线EF的斜率为定值,其值为.(201...
