一、选择题1.对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则()A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实根D．方程f(x)＝0可能无实数解【解析】∵函数f(x)的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但未必函数y＝f(x)在(－1，3)上有实数解．【答案】D2.(2013·济南高一检测)函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.【答案】C3.(2013·合肥高一检测)函数f(x)＝lnx＋2x－8的零点所在区间内为()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，4)D．(4，5)【解析】∵f(4)＝ln4＋2×4－8＝ln4>0，f(3)＝ln3＋2×3－8<0，∴f(4)·f(3)<0.又f(x)在(3，4)上连续，∴f(x)在区间(3，4)内有零点．【答案】C4.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()A．若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B．若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0D．若f(a)·f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0【解析】根据函数零点存在定理可判断，若f(a)·f(b)<0，则一定存在实数c∈(a，b)，使f(c)＝0，但c的个数不确定，故B、D错．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)>0，但f(x)＝x2－1在(－2，2)内有两个零点，故A错，C正确．【答案】C5.已知x0是函数f(x)＝2x－logx的零点，若00B．f(x1)<0C．f(x1)＝0D．f(x1)>0与f(x1)<0均有可能【解析】如图所示，∵x12x1，∴2x1－logx1<0，∴f(x1)<0.【答案】B二、填空题6.函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________．【解析】由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a>0，即a<1.【答案】(－∞，1)7.(2013·厦门高一检测)若函数f(x)＝ax＋b的零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．【解析】由题意可知f(2)＝2a＋b＝0，即b＝－2a.∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)＝0，∴x＝0或x＝－.【答案】0或－8.函数f(x)＝的零点是________．【解析】本题易认为函数的零点有两个，即由x2－4＝0求出x＝±2，事实上x＝2不在函数的定义域内．【答案】－2三、解答题9.求证：方程5x2－7x－1＝0的根一个在区间(－1，0)上，另一个在区间(1，2)上．【证明】设f(x)＝5x2－7x－1，则f(－1)·f(0)＝11×(－1)＝－11<0，f(1)·f(2)＝(－3)×5＝－15<0.又∵二次函数f(x)＝5x2－7x－1在R上是连续的，∴f(x)在(－1，0)和(1，2)上分别有一个零点．即方程5x2－7x－1＝0的根一个在区间(－1，0)上，另一个在区间(1，2)上．10.判断函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．【解】令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.令y1＝log2x，y2＝x－2.画出两个函数的大致图象，如图所示，有两个不同的交点．所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．11.若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的值．【解】(1)若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，易知函数只有一个零点．(2)若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax2－x－1＝0仅有一个实数根．故判别式Δ＝1＋4a＝0，得a＝－.综上所述，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点．
