§1.7.1定积分在几何中的应用§1.7.2定积分在物理中的应用[限时50分钟,满分80分]一、选择题(每小题5分,共30分)1.做直线运动的质点在任意位置x处,所受力F(x)=1+ex,则质点沿着与F(x)相同的方向,从点x1=0处运动到点x2=1处,力F(x)所做的功是A.1+eB.eC.D.e-1解析W=(1+ex)dx=(x+ex)=e.故选B.答案B2.如图,阴影部分的面积是A.2B.-2C.D.解析S=(3-x2-2x)dx=|13=.答案C3.汽车以32m/s的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以加速度a=-8m/s2匀减速刹车,则从开始刹车到停车,汽车行驶的路程为A.128mB.64mC.32mD.80m解析由匀减速运动可得vt=v0+at,其中v0=32m/s,a=-8m/s2,故vt=32-8t,令vt=0,得t=4,即刹车时间为4s,可得刹车距离为1s=(32-8t)dt=(32t-4t2)|40=64(m).答案B4.一物体从A处向B处运动,速度为1.4tm/s(t为运动的时间),到B处时的速度为35m/s,则AB间的距离为A.120mB.437.5mC.360mD.480m解析由1.4t=35得t=25,∴|AB|=1.4tdt=0.7t2=0.7×252=437.5.答案B5.曲线y=x2+2x与直线x=-1,x=1及x轴所围成的图形的面积为A.2B.C.D.解析曲线y=x2+2x与直线x=-1,x=1及x轴所围成的图形面积如下图中阴影部分,S=(x2+2x)dx-(x2+2x)dx=|10-|01=+1-+1=2.答案A6.由直线x=-2,x=2,y=0及曲线y=x2-x所围成的平面图形的面积为A.B.C.D.解析画出直线x=-2,x=2,y=0和曲线y=x2-x,则所求面积S为图中阴影部分的面积.∴S=(x2-x)dx++(x2-x)dx2=|02+||10|+|21=0-++-=++=.答案B二、填空题(每小题5分,共15分)7.由曲线y=x2和y2=x所围成的图形的面积为______.解析两曲线的交点的横坐标为x=0,x=1,因此所求图形的面积为:S=dx-x2dx==-=.答案8.如果用1N的力能拉长弹簧1cm,那么为了将弹簧拉长6cm需做功________J.解析在弹性限度内,拉伸(或压缩)弹簧所需的力F(x)(单位:N)与弹簧拉伸(或压缩)的长度x(单位:m)成正比,即F(x)=kx(常数k是比例系数).由题意知,当F(x)=1N时,x=0.01m,可得k=100.由变力做功公式,得到将弹簧拉长6cm耗费的功W=100xdx=50x2=0.18(J).答案0.189.汽车以每小时32km的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以加速度a=-1.8m/s2刹车,则从开始刹车到停车,汽车所走的路程约为________m.(精确到0.01)解析t=0时,v0=32km/h=m/s=m/s.刹车后减速行驶,v(t)=v0+at=-1.8t.停止时,v(t)=0,则-1.8t=0,得t=s,所以汽车所走的路程s=814000v(t)dt=≈21.95(m).答案21.95m三、解答题(本大题共3小题,共35分)10.(10分)求由抛物线y=-x2+4x-3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积.解析由y′=-2x+4得在点A、B处切线的斜率分别为2和-2,3则两直线方程分别为y=2x-2和y=-2x+6,由得两直线交点坐标为C(2,2),∴S=S△ABC-(-x2+4x-3)dx=×2×2-=2-=.11.(12分)直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.解析抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标x1=0,x2=1,所以抛物线与x轴所围图形的面积S=0=-=.抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标x1′=0,x2′=1-k,所以=0=(1-k)3.又S=,所以(1-k)3=.∴k=1-=1-.12.(13分)有一动点P沿x轴运动,在时间t时的速度为v(t)=8t-2t2(速度的正方向与x轴正方向一致).求:(1)P从原点出发,当t=6时,求点P离开原点的路程和位移;(2)P从原点出发,经过时间t后又返回原点时的t值.解析(1)由v(t)=8t-2t2≥0得0≤t≤4,即当0≤t≤4时,P点向x轴正方向运动,当t>4时,P点向x轴负方向运动.故t=6时,点P离开原点的路程s1=(8t-2t2)dt-(8t-2t2)dt=|40-|64=.当t=6时,点P的位移为(8t-2t2)dt=|60=0.(2)依题意(8t-2t2)dt=0,即4t2-t3=0,解得t=0或t=6,4t=0对应于P点刚开始从原点出发的情况,t=6是所求的值.5