第三章导数应用一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)有两个极值点x1，x2，则x1x2等于()A．9B．－9C．1D．－1解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，则x1x2＝1.答案：C2．函数y＝x＋e－x的增区间为()A．(1，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，1)解析：由y′＝1－e－x＞0解得x＞0.答案：B3．函数f(x)＝x3＋ax＋1在(－∞，－1)上为增加的，在(－1,1)上为减少的，则f(1)等于()A.B．1C.D．－1解析： f′(x)＝x2＋a，又f′(－1)＝0，∴a＝－1，f(1)＝－1＋1＝.答案：C4．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)的极小值是()A．a＋b＋cB．8a＋4b＋cC．3a＋2bD．c解析：由f′(x)的图像知：x＝0是f(x)的极小值点，∴f(x)min＝f(0)＝c.答案：D5．函数y＝f(x)在定义域内可导，其图像如图所示．记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为()1A.∪[2,3]B.∪C.∪[1,2)D.∪∪解析：由条件f′(x)≤0知，选择f(x)图像的减区间即为解．答案：A6．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则()A．a＜－1B．a＞－1C．a＞－D．a＜－解析：y′＝ex＋a，令y′＝0，得x＝ln(－a)，易知x＝ln(－a)为函数的极值点，所以ln(－a)＞0，解得a＜－1，故选A.答案：A7．函数f(x)＝x＋2cosx在区间上的最小值是()A．－B．2C.＋D.＋1解析：f′(x)＝1－2sinx， x∈，∴f′(x)＞0，∴f(x)min＝f＝－.答案：A8．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积为最大，则高为()A.cmB.cmC.cmD.cm解析：设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为V＝πx(202－x2)(0＜x＜20)V′＝(400－3x2)令V′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0，所以当x＝(cm)时，V取最大值．答案：D9．已知函数f(x)的导数为f′(x)＝4x3－4x且图像过点(0，－5)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为()A．－1B．0C．1D．±1解析：由题意知f(x)＝x4－2x2－5，令f′(x)＝4x3－4x＝0，得x的值为0，±1.x(－∞，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－0＋f(x)极小值极大值极小值故选B.答案：B10．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是(2)A．m≥B．m>C．m≤D．m<解析：因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)11．函数y＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]的最大值为_______，最小值为_________．解析：y′＝3x2－6x＋6＝3[(x－1)2＋1]＞0，所以函数f(x)在[－1,1]上为增函数，最大值为f(1)＝2，最小值为f(－1)＝－12.答案：2－1212．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________________．解析：由原函数有零点，可将问题转化为方程ex－2x＋a＝0有解问题，即方程a＝2x－ex有解．令函数g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln2，所以g(x)在(－∞，ln2)上是增函数，在(ln2，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln2)＝2ln2－2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a∈(－∞，2ln2－2]．答案：(－∞，2ln2－2]13.函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d图像如图，则函数y＝x2＋bx＋的单调递增区间为____．解析：由f(x)的图像可知：f(x)的减区间为[－2,3]．∴f′(x)＝0的两根为－2,3，又 f′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴，∴.∴y＝x2＋bx＋＝x2－x－6，其增区间为.答案：14．若函数f(x)＝－x3＋6x2＋a的极大值等于13，则实数a＝__________.解析：f′(x)＝－3x2＋12x，令f′(x)＝0，则x＝0或4，由f′(x)的图像(如图)，可知在x＝4处f(x)取得极大值，3∴f(4)＝13，即－64＋96＋a＝13，∴a＝－19.答案：－19三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x3－x2－3x...
