第6章不等式、推理与证明第7节数学归纳法1．（2014山东，5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．答案：A2．（2014江苏，10分）已知函数f0(x)＝(x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.(1)求2f1＋f2的值；(2)证明：对任意的n∈N*，等式nfn－1＋fn＝都成立．解：由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝′＝－，于是f2(x)＝f′1(x)＝′－′＝－－＋，所以f1＝－，f2＝－＋.故2f1＋f2＝－1.(2)证明：由已知，得xf0(x)＝sinx，等式两边分别对x求导，得f0(x)＋xf′0(x)＝cosx，即f0(x)＋xf1(x)＝cosx＝sin，类似可得2f1(x)＋xf2(x)＝－sinx＝sin(x＋π)，3f2(x)＋xf3(x)＝－cosx＝sin，4f3(x)＋xf4(x)＝sinx＝sin(x＋2π)．下面用数学归纳法证明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立．①当n＝1时，由上可知等式成立．②假设当n＝k时等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sin.因为[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kf′k－1(x)＋fk(x)＋xf′k(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，′＝cos·′＝sin，所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sin.因此当n＝k＋1时，等式也成立．综合①②可知等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立．令x＝，可得nfn－1＋fn＝sin(n∈N*)．所以＝(n∈N*)．3．（2014安徽，13分）设实数c>0，整数p>1，n∈N*.(1)证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px；(2)数列{an}满足a1>c，an＋1＝an＋a.证明：an>an＋1>c.证明：(1)用数学归纳法证明：①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．②假设p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.所以p＝k＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．(2)法一：先用数学归纳法证明an>c.①当n＝1时，由题设知a1>c成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式ak>c成立．由an＋1＝an＋a易知an>0，n∈N*.当n＝k＋1时，＝＋a＝1＋.由ak>c>0得－1<－<<0.由(1)中的结论得p＝p>1＋p·＝.因此a>c，即ak＋1>c.所以n＝k＋1时，不等式an>c也成立．综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>c均成立．再由＝1＋可得<1，即an＋1
an＋1>c，n∈N*.法二：设f(x)＝x＋x1－p，x≥c，则xp≥c，并且f′(x)＝＋(1－p)x－p＝>0，x>c.由此可得，f(x)在上单调递增，因而，当x>c时，f(x)>f(c)＝c.①当n＝1时，由a1>c>0，即a>c可知a2＝a1＋a＝a1c，从而a1>a2>c.故当n＝1时，不等式an>an＋1>c成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式ak>ak＋1>c成立，则当n＝k＋1时，f(ak)>f(ak＋1)>f(c)，即有ak＋1>ak＋2>c.所以n＝k＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>an＋1>c均成立4．（2014重庆，12分）设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2nf(a2k＋1)>f(1)＝a2，即1>c>a2k＋2>a2.再由f(x)在(－∞，1]上为减函数得c＝f(c)
