专题十四函数与不等式【母题原题1】【2018浙江，15】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1).(1,4)(2).【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【母题原题2】【2017浙江，17】已知aR，函数4fxxaax在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________【答案】9-2，【解析】41,4,4,5xxx，分类讨论：①当5a时，442fxaxaaxxx，函数的最大值9245,2aa，舍去；②当4a时，445fxxaaxxx，此时命题成立；1③当45a时，maxmax4,5fxaaaa，则：45{45aaaaaa或45{55aaaaaa，解得：92a或92a综上可得，实数a的取值范围是9,2．【名师点睛】本题利用基本不等式，由1,4x，得44,5xx，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①5a；②4a；③45a，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．【母题原题3】【2016浙江，理18】已知3a，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，其中min{p，q}=,>ppqqpq.，，（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；（Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）；（ⅱ）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.【答案】（Ⅰ）2,2a；（Ⅱ）（ⅰ）20,32242,22amaaaa；（ⅱ）348,342,4aaΜaa．试题解析：（Ⅰ）由于3a，故当1x时，22242212120xaxaxxax，当1x时，22422122xaxaxxxa．2所以，使得等式2242Fxxaxa成立的x的取值范围为2,2a．（Ⅱ）（ⅰ）设函数21fxx，2242gxxaxa，则min10fxf，2min42gxgaaa，所以，由Fx的定义知min1,mafga，即20,32242,22.amaaaa，（ⅱ）当02x时，max0,222FxfxffF，当26x时，max2,6max2,348max2,6FxgxggaFF．所以，348,342,4aaMaa．【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．【思路点睛】（Ⅰ）根据x的取值范围化简Fx，即可得使得等式2242Fxxaxa成立的x的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数fx和gx的最小值，再根据Fx的定义可得ma；（Ⅱ）根据x的取值范围求出Fx的最大值，进而可得Μa．【命题意图】高考对本部分内容的以考查能力为主，重点考查分段函数、绝对值的概念、基本函数的性质、不等式的解法，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.【命题规律】函数是高考命题热点之一，往往以常见函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等.由于导数的加入，除将函数与导数相结合考查外，仍有对函数独立的考查题目，难度基本稳定在中等或以下.【答题模板】求解函数不等式问题，一般考虑：第一步：化简函数，明确函数的构成特点.当呈现方式含绝对值式时，要利用绝对值的概念化简函数；第二步：根据函数特征，联想函数的性质，确定求解方法.根据函数的构...
