专题十四函数与不等式【母题原题1】【2018浙江,15】已知λ∈R,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是___________.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是___________.【答案】(1).(1,4)(2).【解析】分析:根据分段函数,转化为两个不等式组,分别求解,最后求并集.先讨论一次函数零点的取法,再对应确定二次函数零点的取法,即得参数的取值范围.详解:由题意得或,所以或,即,不等式f(x)<0的解集是点睛:已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.【母题原题2】【2017浙江,17】已知aR,函数4fxxaax在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是__________【答案】9-2,【解析】41,4,4,5xxx,分类讨论:①当5a时,442fxaxaaxxx,函数的最大值9245,2aa,舍去;②当4a时,445fxxaaxxx,此时命题成立;1③当45a时,maxmax4,5fxaaaa,则:45{45aaaaaa或45{55aaaaaa,解得:92a或92a综上可得,实数a的取值范围是9,2.【名师点睛】本题利用基本不等式,由1,4x,得44,5xx,通过对解析式中绝对值符号的处理,进行有效的分类讨论:①5a;②4a;③45a,问题的难点在于对分界点的确认及讨论上,属于难题.解题时,应仔细对各种情况逐一进行讨论.【母题原题3】【2016浙江,理18】已知3a,函数F(x)=min{2|x−1|,x2−2ax+4a−2},其中min{p,q}=,>ppqqpq.,,(Ⅰ)求使得等式F(x)=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围;(Ⅱ)(ⅰ)求F(x)的最小值m(a);(ⅱ)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).【答案】(Ⅰ)2,2a;(Ⅱ)(ⅰ)20,32242,22amaaaa;(ⅱ)348,342,4aaΜaa.试题解析:(Ⅰ)由于3a,故当1x时,22242212120xaxaxxax,当1x时,22422122xaxaxxxa.2所以,使得等式2242Fxxaxa成立的x的取值范围为2,2a.(Ⅱ)(ⅰ)设函数21fxx,2242gxxaxa,则min10fxf,2min42gxgaaa,所以,由Fx的定义知min1,mafga,即20,32242,22.amaaaa,(ⅱ)当02x时,max0,222FxfxffF,当26x时,max2,6max2,348max2,6FxgxggaFF.所以,348,342,4aaMaa.【考点】函数的单调性与最值,分段函数,不等式.【思路点睛】(Ⅰ)根据x的取值范围化简Fx,即可得使得等式2242Fxxaxa成立的x的取值范围;(Ⅱ)(Ⅰ)先求函数fx和gx的最小值,再根据Fx的定义可得ma;(Ⅱ)根据x的取值范围求出Fx的最大值,进而可得Μa.【命题意图】高考对本部分内容的以考查能力为主,重点考查分段函数、绝对值的概念、基本函数的性质、不等式的解法,考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.【命题规律】函数是高考命题热点之一,往往以常见函数为基本考察对象,以绝对值或分段函数的呈现方式,与不等式相结合,考查函数的基本性质,如单调性与最值、函数与方程(零点)、不等式的解法等.由于导数的加入,除将函数与导数相结合考查外,仍有对函数独立的考查题目,难度基本稳定在中等或以下.【答题模板】求解函数不等式问题,一般考虑:第一步:化简函数,明确函数的构成特点.当呈现方式含绝对值式时,要利用绝对值的概念化简函数;第二步:根据函数特征,联想函数的性质,确定求解方法.根据函数的构...