高二数学不等式选讲苏教版【本讲教育信息】一.教学内容:不等式选讲二.教学重点、难点:二、本周教学目标:1、掌握不等式的基本性质,并能说明这些性质存在的道理.2、进一步掌握含有绝对值不等式的定理及其推论;3、认识到利用代数恒等变换以及放大、缩小的方法是证明不等式的常用方法,会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等证明方法证明一些简单的不等式.三、本周知识要点:(一)不等式的性质(1)a>bb<a(2)a>b,b>ca>c(3)a>ba+c>b+c(4)a>b,c>0,ac>bc;(5)若(6)若(二)含有绝对值的不等式1、|x|<a-a<x<a.|x|>ax>a或x<-a.2、性质1:性质2:性质3:(三)不等式的证明1、比较法2、综合法与分析法综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法通常叫做综合法.综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法.分析法:证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种方法叫做分析法.3、反证法4、放缩法【典型例题】例1.已知x≠0,比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.解:由题意可知:(x2+1)2-(x4+x2+1)=(x4+2x2+1)-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2 x≠0∴x2>0∴(x2+1)2-(x4+x2+1)>0∴(x2+1)2>x4+x2+1.用心爱心专心115号编辑例1引申:在例1中,如果没有x≠0这个条件,那么两式的大小关系如何?在例1中,如果没有x≠0这个条件,那么意味着x可以全取实数,在解决问题时,应分x=0和x≠0两种情况进行讨论,即:当x=0时,(x2+1)2=x4+x2+1当x≠0时,(x2+1)2>x4+x2+1例2.已知a>b,c<d,求证:a-c>b-d.(相减法则)分析:思路一:证明“a-c>b-d”,实际是根据已知条件比较a-c与b-d的大小,所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据,直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号,最后达到证题目的.证法一: a>b,c<d a-b>0,d-c>0∴(a-c)-(b-d)=(a-b)+(d-c)>0(两个正数的和仍为正数)故a-c>b-d.思路二:我们已熟悉不等式的性质中的定理1~定理3及推论,所以运用不等式的性质,加以变形,最后达到证明目的.证法二: c<d∴-c>-d又 a>b∴a+(-c)>b+(-d)∴a-c>b-d例3.已知a,b,x,y是正数,且,x>y.求证:.证: >0∴b>a>0,又x>y>0∴xb>ay∴xy+xb>xy+ay即x(y+b)>y(x+a) a,b,x,y是正数,∴y+b>0,x+a>0∴.例4.已知函数,-4≤≤-1,-1≤(2)≤5,求的取值范围.分析:利用与设法表示a、c,然后再代入的表达式中,从而用与来表示,最后运用已知条件确定的取值范围.解: 解得∴ -4≤(1)≤-1,故(1)又-1≤(2)≤5,故(2)把(1)和(2)的各边分别相加,得:-1≤≤20所以,-1≤(3)≤20奎屯王新敞新疆点评:应当注意,下面的解法是错误的:用心爱心专心115号编辑依题意,得:由(1)(2)利用不等式的性质进行加减消元,得0≤a≤3,1≤c≤7(3)所以,由可得,-7≤(3)≤27.以上解法其错因在于,由(1)(2)得到不等式(3)是利用了不等式性质中的加法法则,而此性质是单向的,不具有可逆性,从而使得a、c的范围扩大,这样(3)的范围也就随之扩大了.例5.已知|x|<,|y|<,|z|<,求证|x+2y-3z|<ε.证明:|x+2y-3z|≤|x|+|2y|+|-3z|=|x|+2|y|+3|z| |x|<,|y|<,|z|<,∴|x|+2|y|+3|z|<∴|x+2y-3z|<ε例6.证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面的周长相等,那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.分析:当水的流速相同时,水管的流量取决于水管截面面积的大小,设截面的周长为L,则周长为L的圆的半径为,截面积为;周长为L的正方形边长为,截面积为,所以本题只需证明.证明:设截面的周长为L,依题意,截面是圆的水管的截面面积...