第4讲简单的三角恒等变换1．已知cos＝，则sin2x＝()A．B．C．－D．－解析：选C．因为cos＝coscosx＋sinsinx＝(cosx＋sinx)＝，所以sinx＋cosx＝，所以1＋2sinxcosx＝，即sin2x＝－1＝－.2．已知sin＝cos，则cos2α＝()A．1B．－1C．D．0解析：选D.因为sin＝cos，所以cosα－sinα＝cosα－sinα，即sinα＝－cosα，所以tanα＝＝－1，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0.3．已知sin2α＝(＜2α＜π)，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)等于()A．－2B．－1C．－D．解析：选A．由题意，可得cos2α＝－，则tan2α＝－，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝－2.4.的值是()A．B．C．D．解析：选C．原式＝＝＝＝.5．在斜三角形ABC中，sinA＝－cosBcosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为()A．B．C．D．解析：选A．由题意知，sinA＝－cosBcosC＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，在等式－cosBcosC＝sinBcosC＋cosBsinC两边同除以cosBcosC得tanB＋tanC＝－，又tan(B＋C)＝＝－1＝－tanA，即tanA＝1，所以A＝.6．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ的值为________．解析：因为cos(α＋β)＝，所以cosαcosβ－sinαsinβ＝.①因为cos(α－β)＝，所以cosαcosβ＋sinαsinβ＝.②①＋②得cosαcosβ＝.②－①得sinαsinβ＝.所以tanαtanβ＝＝.答案：7．若tanα＝3，则sin的值为________．解析：因为sin2α＝2sinαcosα＝＝＝，cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝－，所以sin＝sin2α＋cos2α＝×＝－.答案：－8．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈，则α＋β＝________．解析：由已知得tanα＋tanβ＝－3a，tanαtanβ＝3a＋1，所以tan(α＋β)＝1.又因为α，β∈，tanα＋tanβ＝－3a＜0，tanαtanβ＝3a＋1＞0，所以tanα＜0，tanβ＜0，所以α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.答案：－9．已知tanα＝－，cosβ＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cosβ＝，β∈，得sinβ＝，tanβ＝2.所以tan(α＋β)＝＝＝1.因为α∈，β∈，所以<α＋β<，所以α＋β＝.10．已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f＝.(1)求A的值；(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．解：(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2.(2)由f＝2cos(α＋＋)＝2cos＝－2sinα＝－，得sinα＝，又α∈，所以cosα＝.由f＝2cos(β－＋)＝2cosβ＝，得cosβ＝，又β∈，所以sinβ＝，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.1．cos·cos·cos＝()A．－B．－C．D．解析：选A．cos·cos·cos＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－＝－＝－＝－＝－＝－.2．设α∈，β∈，且tanα＝，则()A．3α－β＝B．2α－β＝C．3α＋β＝D．2α＋β＝解析：选B．因为tanα＝，所以＝，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，所以sinαcosβ－cosαsinβ＝cosα，即sin(α－β)＝sin，又α，β均为锐角，且y＝sinx在上单调递增，所以α－β＝－α，即2α－β＝，故选B．3．已知cos＝－，则cosx＋cos＝()A．－B．±C．－1D．±1解析：选C．因为cos＝－，所以cosx＋cos＝cosx＋cosxcos＋sinxsin＝cosx＋sinx＝＝cos＝×＝－1.4．已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝________．解析：因为tanβ＝，所以tanβ＝＝tan.又α、β均为锐角，所以β＝－α，即α＋β＝，所以tan(α＋β)＝tan＝1.答案：15．已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.(1)求sin2β的值；(2)求cos的值．解：(1)法一：因为cos＝coscosβ＋sinsinβ＝cosβ＋sinβ＝，所以cosβ＋sinβ＝，所以1＋sin2β＝，所以sin2β＝－.法二：sin2β＝cos＝2cos2－1＝－.(2)因为0<α<<β<π，所以<β－<π，<α＋β<.所以sin>0，cos(α＋β)<0，因为cos＝，sin(α＋β)＝，所以sin＝，cos(α＋β)＝－.所以cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝.6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．(1)求sin2α－tanα的值；(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域．解：(1)因为角α的终边经过点P(－3，)，所以sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.所以sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－＋＝－.(2)因为f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，x∈R，所以g(x)＝cos－2cos2x＝sin2x－1－cos2x＝2sin－1，因为0≤x≤，所以－≤2x－≤.所以－≤sin≤1，所以－2≤2sin－1≤1，故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2，1]．
