2018高考数学异构异模复习考案第五章平面向量5.2.2数量积的综合应用撬题文1.已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP＝＋，则PB·PC的最大值等于()A．13B．15C．19D．21答案A解析依题意，以点A为坐标原点，以AB所在的直线为x轴，AC所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点P(1,4)，B，C(0，t)，所以PB·PC＝·(－1，t－4)＝×(－1)－4×(t－4)＝17－－4t≤17－2＝13(当且仅当＝4t，即t＝时取等号)，所以PB·PC的最大值为13，故选A.2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5答案A解析由|a＋b|＝得a2＋b2＋2a·b＝10，①由|a－b|＝得a2＋b2－2a·b＝6，②①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1，故选A.3．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若AE·AF＝1，CE·CF＝－，则λ＋μ＝()A.B.C.D.答案C解析以AB，AD为基向量，则AE·AF＝(AB＋λAD)·(AD＋μAB)＝μAB2＋λAD2＋(1＋λμ)AB·AD＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1①.CE·CF＝(λ－1)BC·(μ－1)DC＝－2(λ－1)(μ－1)＝－②，由①②可得λ＋μ＝.4．已知点O为△ABC的外心，且|AC|＝4，|AB|＝2，则AO·BC＝________.答案6解析因为点O为△ABC的外心，且|AC|＝4，|AB|＝2，所以AO·BC＝AO·(AC－AB)＝AO·AC－AO·AB＝|AO||AC|cos〈AO，AC〉－|AO||AB|·cos〈AO，AB〉＝|AC||AC|×－|AB||AB|×＝6.5．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是________．答案解析由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB1＝(2)2＋22－2×2×2cos30°＝4，∴AC＝2，∴AC＝BC＝2，∴∠CAB＝30°，∠DAC＝60°.AD＝1，∴AE∈[1,2]，∵AE＝AD＋μAB，∴|AE|2＝(AD＋μAB)2＝|AD|2＋|μAB|2＝1＋(2)2μ2＝1＋12μ2，μ2＝，∵|AE|∈[1,2]，∴μ2∈，由梯形ABCD知μ≥0，∴μ∈.6．设G是△ABC的重心，且sinA·GA＋3sinB·GB＋3sinC·GC＝0，则角B的大小为________．答案解析∵sinA·GA＋3sinB·GB＋3sinC·GC＝0，设三角形的边长顺次为a，b，c，由正弦定理得a·GA＋3b·GB＋3c·GC＝0，由点G为△ABC的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：3GA＝BA＋CA，3GB＝CB＋AB，3GC＝AC＋BC，代入上式得：a(BA＋CA)＋3b(CB＋AB)＋3c(AC＋BC)＝0，又CA＝CB＋BA，上式可化为：a(2BA＋CB)＋3b(AB＋CB)＋3c·(－BA＋2BC)＝0，即(2a－3b－3c)BA＋(－a－3b＋6c)BC＝0，则有①－②得3a＝9c，即a∶c＝3∶1，设a＝3k，c＝k，代入①得b＝k，∴cosB＝＝＝，∴B＝.7.在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值．解(1)∵m⊥n，∴m·n＝0.故sinx－cosx＝0，∴tanx＝1.(2)∵m与n的夹角为，∴cos〈m，n〉＝＝＝，故sin＝.又x∈，∴x－∈，x－＝，即x＝，故x的值为.2
