高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理（1）课时作业（含解析）新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2数学试题VIP专享VIP免费

第二章推理与证明课时作业33一、选择题1．下列关于归纳推理的说法错误的是()A．归纳推理是由一般到一般的推理过程B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C．归纳推理得出的结论不一定正确D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能解析：由归纳推理的定义与特征可知选项A错误，选项B，C，D均正确，故选A.答案：A2．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：那么下列4个图形中，可以表示A*D，A*C的分别是()A.1,2B.1,3C.2,4D.1,4解析：由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是图2，A*C是图4.答案：C3．观察下列数表规律则数2014的箭头方向是()解析：因上行偶数是首项为2，公差为4的等差数列，若2014在上行，则2014＝2＋(n－1)·4⇒n＝504∈N*.故2014在上行，又因为在上行偶数的箭头为，故选A.1答案：A4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)解析：本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查．答案：D二、填空题5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…根据上述规律，第四个等式为__________．解析：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，…，所以13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.答案：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)26．设{an}是首项为1的正数项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N*)，经归纳猜想可得这个数列的通项公式为__________．解析：由首项为1，得a1＝1；由n＝1时，由2a－1＋a2＝0，得a2＝；当n＝2时，由3a－2()2＋a3＝0，即6a＋a3－1＝0，解得a3＝；…归纳猜想该数列的通项公式为an＝(n∈N*)．答案：an＝(n∈N*)7．[2013·湖北高考]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝n2＋n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝n2－n，六边形数N(n,6)＝2n2－n，………………可推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.解析：首先将三、四、五、六边形数中第n个数的表达式分别通分，化成分母统一为2的形式如下：三角形数：N(n,3)＝n2＋n＝＝；正方形数：N(n,4)＝n2＝；五边形数：N(n,5)＝－n＝；六边形数：N(n,6)＝2n2－n＝＝；……根据以上规律总结，推测：N(n，k)＝.2故N(10,24)＝＝1000.答案：1000三、解答题8．已知数列{an}满足条件(n－1)an＋1＝(n＋1)·an－n－1，且a2＝6，设bn＝an＋n(n∈N*)，猜想数列{bn}的通项公式．解：a1＝1，a2＝6，a3＝15，a4＝28，b1＝2，b2＝8，b3＝18，b4＝32.可以通过求数列{an}的通项公式来求数列{bn}的通项公式．我们发现a1＝1＝1×1；a2＝6＝2×3；a3＝15＝3×5；a4＝28＝4×7；…，猜想an＝n×(2n－1)，进而猜想bn＝2n2－n＋n＝2n2.9．观察下列各式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝；sin240°＋cos270°＋sin40°cos70°＝；sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝，分析以上各式的共同特点，根据其特点写出能反映一般规律的等式，并对等式是否正确加以证明．解：反映一般规律的等式是：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝.(表达形式不唯一)该等式是正确的，证明如下：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝sin2α＋(cosαcos30°－sinαsin30°)2＋sinα(cosαcos30°－sinαsin30°)＝sin2α＋2＋sinα·cosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＋sin2α－sinαcosα＋sinαcosα－sin2α＝(sin2α＋cos2α)＝.34