第1讲基础小题部分一、选择题1．(2018·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示．易知，BC∥AD，BC＝1，AD＝AB＝PA＝2，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，故△PAD，△PAB为直角三角形， PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB，∴△PBC为直角三角形，容易求得PC＝3，CD＝，PD＝2，故△PCD不是直角三角形，故选C.答案：C2．(2018·临汾三模)已知平面α及直线a，b，则下列说法正确的是()A．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行B．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直C．若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行D．若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直解析：对于A，若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行、相交、异面，故错；对于B，若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线可能垂直，如图，直角三角形ACB的直角顶点在平面α内，边AC，BC可以与平面都成30°角，故错．对于C，若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行，显然错；对于D，若两条直线与平面α都垂直，则直线a，b平行，故正确．故选D.答案：D3.已知某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为()A.B．2C.D.解析：根据三视图可知，该几何体是三棱柱截取一部分所得．如图，几何体的体积为三棱柱ABCA1B1C1的体积减去三棱锥CA1B1C1的体积，即V＝S△ABC×BB1－×S△ABC×BB1＝2，故选B.答案：B4．如图，多面体ABCDEGF的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如图所示，则其正视图和侧视图正确的是()解析：正视图的轮廓线是矩形DCFG，点E在平面DCFG上的投影为DG的中点，且边界BE，BG可视，故正视图为选项B或D中的正视图，侧视图的轮廓线为直角梯形ADGE，且边界BF不可视，故侧视图为选项D中的侧视图，故选D.答案：D5．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.B.C.D.解析：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCDA1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等．如图所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN＝6×××sin60°＝.故选A.答案：A6．(2018·平顶山一模)高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器(下有底)内，可放置最大球的半径是()A.B．2C.D.解析：由题意知，正三棱柱形容器内有一个球，其最大半径为r，r即为底面正三角形内切圆的半径，因为底面边长为4，所以r＝2.故选B.答案：B7．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的棱长为()A.B．1C．2D．2－解析：依题意知该工件为圆锥，底面半径为，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x，则有＝，解得x＝，故2x＝1，即新工件棱长为1.故选B.答案：B8．已知直线a，b以及平面α，β，则下列命题正确的是()A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b⊥α，则a⊥bC．若a∥b，b∥α，则a∥αD．若a⊥α，b∥β，则α⊥β解析：对于A，若a∥α，b∥α，则a∥b或a，b相交、异面，不正确；对于B，若a∥α，则经过a的平面与α交于c，a∥c，因为b⊥α，所以b⊥c，因为a∥c，所以a⊥b，正确；对于C，若a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，不正确；对于D，若a⊥α，b∥β，则α，β位置关系不确定，故选B.答案：B9．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BAA1′B1′B1A1.连接...
