课时达标检测（二十三）三角恒等变换[练基础小题——强化运算能力]1．计算的值为()A．－B.C.D．－解析：选B＝＝＝＝.2．已知sin＝，－＜α＜0，则cos的值是()A.B.C．－D．1解析：选C由已知得cosα＝，sinα＝－，所以cos＝cosα＋sinα＝－.3．(2017·江西新余三校联考)已知cos＝－，则sin的值为()A.B.C．±D．±解析：选C因为cos＝cos＝，所以有sin2＝＝＝，从而求得sin的值为±，故选C.4．已知sin－α＝，则cos2的值是()A.B.C．－D．－解析：选D∵sin＝，∴cos＝cos2－α＝1－2sin2－α＝，∴cos2＋α＝cos＝cosπ－＝－cos－2α＝－.5．已知sin＋sinα＝，则sin的值是________．解析：∵sin＋sinα＝，∴sincosα＋cossinα＋sinα＝，∴sinα＋cosα＝，即sinα＋cosα＝，故sin＝sinαcos＋cosαsin＝－＝－.答案：－[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知sin2α＝，则cos2＝()A．－B.C．－D.解析：选D依题意得cos2＝cosαcos＋sinαsin2＝(cosα＋sinα)2＝(1＋sin2α)＝.2．已知cos＝－，则cosx＋cos＝()A．－B．±C．－1D．±1解析：选C∵cos＝－，∴cosx＋cosx－＝cosx＋cosxcos＋sinxsin＝cosx＋sinx＝＝cos＝×＝－1.3．若tanα＝2tan，则＝()A．1B．2C．3D．4解析：选C＝＝＝＝＝＝＝3，故选C.4．已知sin＝，cos2α＝，则sinα＝()A.B．－C.D．－解析：选C由sin＝得sinα－cosα＝，①由cos2α＝得cos2α－sin2α＝，所以(cosα－sinα)·(cosα＋sinα)＝，②由①②可得cosα＋sinα＝－，③由①③可得sinα＝.5．在斜三角形ABC中，sinA＝－cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为()A.B.C.D.解析：选A由题意知，sinA＝－cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－，又tanB·tanC＝1－，所以tan(B＋C)＝＝－1.由已知，有tanA＝－tan(B＋C)，则tanA＝1，所以A＝.6．已知锐角α，β满足sinα－cosα＝，tanα＋tanβ＋·tanαtanβ＝，则α，β的大小关系是()A．α<<βB．β<<αC.<α<βD.<β<α解析：选B∵α为锐角，sinα－cosα＝，∴α>.又tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝，∴α＋β＝，又α>，∴β<<α.二、填空题7．函数f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________．解析：∵f(x)＝sin2x－cos2x－(1－cos2x)＝sin2x＋cos2x－＝sin－，∴f(x)的最小正周期T＝＝π.答案：π8．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.解析：∵α∈，cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos2α＝>0，∴2α∈，∴sin2α＝＝，∴cos＝cos2α－sin2α＝×－×＝.答案：9．已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝________.解析：由题意得tanα＋tanβ＝－3<0，tanα·tanβ＝4>0，∴tan(α＋β)＝＝，且tanα<0，tanβ<0，又α，β∈，故α，β∈，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.答案：－10．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos－＝，则cos＝________.解析：∵0<α<，－<β<0，∴<＋α<，<－<，∴sin＝＝，sin＝＝，∴cos＝cos＋α－－＝coscos＋sin＋αsin＝.答案：三、解答题11．已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx，x∈R.(1)求f的值；(2)若sinα＝，且α∈，求f.解：(1)f＝cos2＋sincos＝2＋×＝.(2)因为f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝＋sin2x＝＋(sin2x＋cos2x)＝＋sin，所以f＝＋sin＝＋sin＝＋.因为sinα＝，且α∈，所以cosα＝－，所以f＝＋×－×＝.12．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝4tanxsin·cos－.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．解：(1)f(x)的定义域为.f(x)＝4tanxcosxcos－＝4sinxcos－＝4sinx－＝2sinxcosx＋2sin2x－＝sin2x＋(1－cos2x)－＝sin2x－cos2x＝2sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)令z＝2x－，则函数y＝2sinz的单调递增区间是，k∈Z.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.设A＝，B＝x－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝.所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.
