课时提升作业(十五)定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2014·陕西高考)定积分的值为()A.e+2B.e+1C.eD.e-1【解析】选C.=e.2.(2015·泉州模拟)直线y=2x+4与抛物线y=x2+1所围成封闭图形的面积是()【解析】选C.直线与抛物线在同一坐标系中的图象如图,则其围成的封闭图形的面积是[(2x+4)-(x2+1)]dx=(-x2+2x+3)dx=.3.(2015·南昌模拟)已知函数f(x)=则f(x)dx的值为()A.B.4C.6D.【解析】选D.f(x)dx=x2dx+(x+1)dx4.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)=t2-t+2,质点做直线运动,则此质点在时间[1,2]内的位移为()【解析】选A.质点在时间[1,2]内的位移为(t2-t+2)dt=.5.由直线x+y-2=0,曲线y=x3以及x轴围成的图形的面积为()【解析】选D.由题意得解得交点坐标是(1,1).故由直线x+y-2=0,曲线y=x3以及x轴围成的图形的面积为x3dx+(2-x)dx=.【方法技巧】求平面几何图形面积的技巧求平面几何图形的面积,需根据几何图形的形状进行适当分割,然后通过分别求相应区间上的定积分求出各自的面积,再求和.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知t>0,若(2x-1)dx=6,则t的值等于.【解析】(2x-1)dx=2xdx-1dx=由t2-t=6得t=3或t=-2(舍去).答案:3【加固训练】设函数f(x)=ax2+b(a≠0),若f(x)dx=3f(x0),则x0等于()A.±1B.C.±D.2【解析】选C.f(x)dx=(ax2+b)dx=,所以9a+3b=3(a+b),即=3,x0=±,故选C.7.(2015·深圳模拟)由曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,x=所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是.【解析】由图可得阴影部分面积S=2(cosx-sinx)dx==2(-1).答案:2-28.(2013·湖南高考)若x2dx=9,则常数T的值为.【解析】x2dx=,所以T=3.答案:3三、解答题9.(10分)(2015·哈尔滨模拟)求由曲线y=,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积.【解析】y=与y=x-2以及y轴所围成的图形为如图所示的阴影部分,联立得交点坐标为(4,2),故所求面积为S=[-(x-2)]dx=.【加固训练】设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F(x)=x2+1且方向和x轴正向相同,求变力F(x)对质点M所做的功.【解析】变力F(x)=x2+1使质点M沿x轴正向从x=1运动到x=10所做的功为W=F(x)dx=(x2+1)dx(20分钟40分)1.(5分)(2015·金华模拟)图中阴影部分的面积是()A.16B.18C.20D.22【解析】选B.由得或则阴影部分的面积为S=2dx+(-x+4)dx2.(5分)若f(x)=则f(2014)=.【解析】当x>0时,f(x)=f(x-4),则f(x+4)=f(x),所以f(2014)=f(2)=f(-2),又因为cos3tdt=所以f(2014)=f(-2)=2-2+=.答案:3.(5分)(2015·长沙模拟)如图,矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)=sinx(x∈(0,π))及直线x=a(a∈(0,π))与x轴围成,向矩形OABC内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为,则a的值是.【解题提示】利用定积分求出阴影部分面积,再利用几何概型求解.【解析】由已知S矩形OABC=a×=6,而阴影部分的面积为S=sinxdx=(-cosx)=1-cosa,依题意有得:cosa=-,又a∈(0,π),所以a=π.答案:4.(12分)汽车以54km/h的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以等加速度-3m/s2刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多远?【解析】由题意,得v0=54km/h=15m/s.所以v(t)=v0+at=15-3t.令v(t)=0,得15-3t=0.解得t=5.所以开始刹车5s后,汽车停车.所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为s=v(t)dt=(15-3t)dt==37.5(m).故汽车走了37.5m.5.(13分)(能力挑战题)如图所示,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.【解析】抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0,x2=1,所以,抛物线与x轴所围图形的面积S=(x-x2)dx=由可得抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x3=0,x4=1-k,所以=(x-x2-kx)dx又知S=,所以(1-k)3=,于是.【加固训练】曲线C:y=2x3-3x2-2x+1,点P(,0),求过P的切线l与C围成的图形的面积.【解析】设切点坐标为(x0,y0),y′=6x2-6x-2,则f′(x0)=6x02-6x0-2,切线方程为y=(6x02-6x0-2),则y0=(6x02-6x0-2),即2x03-3x02-2x0+1=(6x02-6x0-2)·,整理得x0(4x02-6x0+3)=0,解得x0=0,则切线方程为y=-2x+1.解方程组得或由y=2x3-3x2-2x+1与y=-2x+1的图象可知S=[(-2x+1)-(2x3-3x2-2x+1)]dx=(-2x3+3x2)dx=.
