第二课时用数学归纳法证明不等式[基础达标]1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)第一步应验证A.n＝1B.n＝2C.n＝3D.n＝4解析由题意知n≥3，∴应验证n＝3.故选C.答案C2.对于正整数n，下列说法不正确的是A.32≥1＋2nB.0.9n≥1－0.1nC.0.9n＜1－0.1nD.0.1n≥1－0.9n解析由贝努利不等式∵(1＋x)n≥1＋nx，(n∈N＋，x≥－1)，∴当x＝2时，(1＋2)n≥1＋2n，故A正确.当x＝－0.1时，(1－0.1)n≥1－0.1n，B正确，C不正确.答案C3.设p(k)：1＋＋＋…＋≤＋k(k∈N)，则p(k＋1)为A.1＋＋＋…＋＋≤＋k＋1B.1＋＋＋…＋＋≤＋k＋1C.1＋＋＋…＋＋＋…＋≤＋k＋1D.上述均不正确解析分母是底数为2的幂，且幂指数是连续自然增加，故选A.答案A4.用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是A.2k－1B.2k－1C.2kD.2k＋1解析增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.答案C5.试证明1＋＋＋…＋<2(n∈N*).证明(1)当n＝1时，不等式成立.1(2)假设n＝k(k≥1)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋<2.那么n＝k＋1时，＋<2＋＝<＝2.这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立.根据(1)(2)可知不等式对n∈N*都成立.[能力提升]1.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，n＞1)时，第一步应验证不等式A.1＋＜2B.1＋＋＜2C.1＋＋＜3D.1＋＋＋＜3解析n∈N＋，n＞1，∴n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为＝，故选B.答案B2.设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，观察上述结果，可推测出的一般结论为A.f(2n)>B.f(n2)≥C.f(2n)≥D.以上都不对解析f(2)＝，f(4)＝f(22)>，f(8)＝f(23)>，f(16)＝f(24)>，f(32)＝f(25)>，所以推测f(2n)≥.答案C3.利用数学归纳法证明“＜”时，n的最小取值n0应为A.1B.2C.3D.4答案B4.从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n级台阶共有f(n)种走法，则下面的猜想正确的是A.f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n≥3)B.f(n)＝2f(n－1)(n≥2)C.f(n)＝2f(n－1)－1(n≥2)D.f(n)＝f(n－1)f(n－2)(n≥3)答案A5.用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，应得到2A.1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B.1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C.1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D.1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1解析当n＝k＋1时，左边应为1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，右边应为2k＋1－1.故选D.答案D6.已知a1＝1，an＋1>an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，先计算a2，a3，再猜想an等于A.nB.n2C.n3D.－解析∵(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，∴(a2－1)2－2(a2＋1)＋1＝0，∴a2＝4，或a2＝0(舍去).同理a3＝9，或a3＝1(舍去).∴猜想an＝n2.答案B7.用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________.解析当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立.答案21＋1≥12＋1＋28.用数学归纳法证明：当n∈N＋，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为________，从k到k＋1时需增添的项是________.答案1＋2＋22＋23＋2425k＋25k＋1＋…＋25k＋49.已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k＋1)－f(2k)＝________.解析f(2k)＝1＋＋＋…＋，f(2k＋1)＝1＋＋…＋＋＋＋…＋，故f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋.答案＋＋…＋10.求证：＋＋＋…＋>(n≥2，n∈N*).证明(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋＝>，不等式成立.(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即＋＋…＋>，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋>＋>＋＝＋＝.3所以当n＝k＋1时，不等式也成立.由(1)(2)，知原不等式对一切n≥2且n∈N*都成立.11.用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式…>成立.证明(1)当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝，左边>右边，∴不等式成立.(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立，即…>.那么当n＝k＋1时，…>·＝＝>＝＝，∴当n＝k＋1时，不等式也成立.由(1)、(2)知，对一切大于1的自然数n，题设不等式都成立.12.数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.解析(1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，由此猜想an＝(n∈N*)；(2)当n＝1时，a1＝1，结论成立.假设n＝k(k≥1)时，结论成立，即ak＝，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1.所以2ak＋1＝2＋ak，所以ak＋1＝＝＝.这表明当n＝k＋1时，结论成立.所以an＝(n∈N*).45
