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高中数学 第4讲 数学归纳法证明不等式 第二课时 用数学归纳法证明不等式练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

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第二课时用数学归纳法证明不等式[基础达标]1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4解析由题意知n≥3,∴应验证n=3.故选C.答案C2.对于正整数n,下列说法不正确的是A.32≥1+2nB.0.9n≥1-0.1nC.0.9n<1-0.1nD.0.1n≥1-0.9n解析由贝努利不等式∵(1+x)n≥1+nx,(n∈N+,x≥-1),∴当x=2时,(1+2)n≥1+2n,故A正确.当x=-0.1时,(1-0.1)n≥1-0.1n,B正确,C不正确.答案C3.设p(k):1+++…+≤+k(k∈N),则p(k+1)为A.1+++…++≤+k+1B.1+++…++≤+k+1C.1+++…+++…+≤+k+1D.上述均不正确解析分母是底数为2的幂,且幂指数是连续自然增加,故选A.答案A4.用数学归纳法证明“1+++…+1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1解析增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k+1-2k=2k.答案C5.试证明1+++…+<2(n∈N*).证明(1)当n=1时,不等式成立.1(2)假设n=k(k≥1)时,不等式成立,即1+++…+<2.那么n=k+1时,+<2+=<=2.这就是说,当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)(2)可知不等式对n∈N*都成立.[能力提升]1.用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N+,n>1)时,第一步应验证不等式A.1+<2B.1++<2C.1++<3D.1+++<3解析n∈N+,n>1,∴n取的第一个自然数为2,左端分母最大的项为=,故选B.答案B2.设n为正整数,f(n)=1+++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,观察上述结果,可推测出的一般结论为A.f(2n)>B.f(n2)≥C.f(2n)≥D.以上都不对解析f(2)=,f(4)=f(22)>,f(8)=f(23)>,f(16)=f(24)>,f(32)=f(25)>,所以推测f(2n)≥.答案C3.利用数学归纳法证明“<”时,n的最小取值n0应为A.1B.2C.3D.4答案B4.从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶,每步只能跨上1级或2级,走完这n级台阶共有f(n)种走法,则下面的猜想正确的是A.f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n≥3)B.f(n)=2f(n-1)(n≥2)C.f(n)=2f(n-1)-1(n≥2)D.f(n)=f(n-1)f(n-2)(n≥3)答案A5.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)”的过程中,第二步n=k时等式成立,则当n=k+1时,应得到2A.1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1解析当n=k+1时,左边应为1+2+22+…+2k-1+2k,右边应为2k+1-1.故选D.答案D6.已知a1=1,an+1>an,且(an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0,先计算a2,a3,再猜想an等于A.nB.n2C.n3D.-解析∵(an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0,∴(a2-1)2-2(a2+1)+1=0,∴a2=4,或a2=0(舍去).同理a3=9,或a3=1(舍去).∴猜想an=n2.答案B7.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N*)”时,第一步的验证为________.解析当n=1时,21+1≥12+1+2,即4≥4成立.答案21+1≥12+1+28.用数学归纳法证明:当n∈N+,1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数时,当n=1时原式为________,从k到k+1时需增添的项是________.答案1+2+22+23+2425k+25k+1+…+25k+49.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)=________.解析f(2k)=1+++…+,f(2k+1)=1++…++++…+,故f(2k+1)-f(2k)=++…+.答案++…+10.求证:+++…+>(n≥2,n∈N*).证明(1)当n=2时,左边=+++=>,不等式成立.(2)假设n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立,即++…+>,则当n=k+1时,++…++++=++…++>+>+=+=.3所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2),知原不等式对一切n≥2且n∈N*都成立.11.用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数n,不等式…>成立.证明(1)当n=2时,左边=1+=,右边=,左边>右边,∴不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时,不等式成立,即…>.那么当n=k+1时,…>·==>==,∴当n=k+1时,不等式也成立.由(1)、(2)知,对一切大于1的自然数n,题设不等式都成立.12.数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*).(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.解析(1)a1=1,a2=,a3=,a4=,由此猜想an=(n∈N*);(2)当n=1时,a1=1,结论成立.假设n=k(k≥1)时,结论成立,即ak=,那么当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.所以2ak+1=2+ak,所以ak+1===.这表明当n=k+1时,结论成立.所以an=(n∈N*).45

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