1.三角函数与解三角形1.(2017·河南百校联盟质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝，cosAsinB＋(c－sinA)·cos(A＋C)＝0.(1)求角B的大小；(2)若△ABC的面积为，求sinA＋sinC的值.解(1)由cosAsinB＋(c－sinA)cos(A＋C)＝0，得cosAsinB－(c－sinA)cosB＝0，即sin(A＋B)＝ccosB，sinC＝ccosB，＝cosB，因为＝，所以＝cosB，即tanB＝，又0＜B＜π，所以B＝.(2)由S＝acsinB＝，得ac＝2，由b＝及余弦定理得()2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，所以a＋c＝3，所以sinA＋sinC＝(a＋c)＝.2.已知函数f(x)＝sin2ωxcosφ＋cos2ωxsinφ＋cos(0＜φ＜π)，其图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，且过点.(1)求ω和φ的值；(2)求函数y＝f(2x)，x∈的值域.解(1)f(x)＝sin2ωxcosφ＋sinφ－sinφ＝(sin2ωxcosφ＋cos2ωxsinφ)＝sin(2ωx＋φ).由题意可知，T＝2π＝，则ω＝±，当ω＝，把点代入f(x)＝sin(2ωx＋φ)中，可得φ＝＋2kπ，k∈Z，而0＜φ＜π，解得φ＝.当ω＝－，把点代入f(x)＝sin(2ωx＋φ)中，可得φ＝＋2kπ，k∈Z，而0＜φ＜π，解得φ＝.(2)由题可知，当ω＝，f(2x)＝sin，0≤x≤，∴≤2x＋≤，则函数f(2x)的值域为.当ω＝－时，f(2x)＝sin＝sin，∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，则函数f(2x)的值域为.综上，函数f(2x)的值域为.3.(2017·湖南邵阳大联考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝1，＝2(1－cosC).(1)求b的值；(2)若△ABC的面积为，求c的值.解(1)∵sin(2A＋B)＝2sinA(1－cosC)，∴sin[(A＋B)＋A]＝2sinA－2sinAcosC，sin(A＋B)cosA＋cos(A＋B)sinA＝2sinA＋2sinAcos(A＋B)，sin(A＋B)cosA－cos(A＋B)sinA＝2sinA，∴sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，又a＝1，∴b＝2.(2)∵S△ABC＝absinC＝×1×2sinC＝，∴sinC＝，cosC＝±，当cosC＝时，cosC＝＝＝，∴c＝；当cosC＝－时，cosC＝＝＝－，∴c＝.故c＝或c＝.4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A，B，C的度数成等差数列，b＝.(1)若3sinC＝4sinA，求c的值；(2)求a＋c的最大值.解(1)由角A，B，C的度数成等差数列，得2B＝A＋C.又A＋B＋C＝π，所以B＝.由正弦定理，得3c＝4a，即a＝.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，即13＝2＋c2－2××c×，解得c＝4.(2)由正弦定理，得＝＝＝＝，所以a＝sinA，c＝sinC.所以a＋c＝(sinA＋sinC)＝[sinA＋sin(A＋B)]＝＝＝2sin.由0＜A＜，得＜A＋＜.所以当A＋＝，即A＝时，(a＋c)max＝2.5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝，且m∥n.(1)求角A的大小；(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值.解(1)∵m∥n，∴acosB－cosA＝0，由正弦定理得sinAcosB－cosA＝0，∴sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA，∴sin(A＋B)＝2sinCcosA，由A＋B＋C＝π，得sinC＝2sinCcosA由于0＜C＜π，因此sinC>0，∴cosA＝，由于0＜A＜π，∴A＝.(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴16＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，∴bc≤16，当且仅当b＝c＝4时，等号成立，∴△ABC面积S＝bcsinA≤4，∴△ABC面积的最大值为4.6.(2017·吉林二调)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若(2a－c)cosB＝bcosC，求f的取值范围.解(1)由图象知A＝1，T＝4＝π，ω＝2，将点代入解析式得sin＝1，因为|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin.(2)由(2a－c)cosB＝bcosC及正弦定理，得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC.所以2sinAcosB＝sin(B＋C)，cosB＝，B＝，A＋C＝，f＝sin，0＜A＜，＜A＋＜，所以sin∈，所以f的取值范围是.
