考点规范练50双曲线考点规范练B册第35页基础巩固1.若双曲线y2a2−x29=1(a>0)的一条渐近线与直线y=13x垂直,则此双曲线的实轴长为()A.2B.4C.18D.36答案:C解析:双曲线的一条渐近线的方程为y=-a3x,所以-a3×13=-1,解得a=9,所以双曲线的实轴长为2a=18,故选C.2.(2019浙江,2)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是()A.❑√22B.1C.❑√2D.2答案:C解析:因为双曲线的渐近线方程为x±y=0,所以a=b=1.所以c=❑√a2+b2=❑√2,双曲线的离心率e=ca=❑√2.3.设椭圆C1的离心率为513,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为()A.x242−y232=1B.x2132−y252=1C.x232−y242=1D.x2132−y2122=1答案:A解析:由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),设曲线C2上的一点P,则||PF1|-|PF2||=8.由双曲线的定义知a=4,b=3.故曲线C2的标准方程为x242−y232=1.4.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作x轴的垂线交双曲线于A,B两点,若∠AF2B<π3,则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,❑√3)B.(1,❑√6)C.(1,2❑√3)D.(❑√3,3❑√3)答案:A解析:由题意,将x=-c代入双曲线的方程,得y2=b2c2a2-1=b4a2,∴|AB|=2b2a. 过焦点F1且垂直于x轴的弦为AB,∠AF2B<π3,∴∠AF2F1<π6,∴tan∠AF2F1=b2a2c<❑√33,e=ca>1.∴c2-a22ac<❑√33,12e-12e<❑√33.解得e∈(1,❑√3),故选A.5.(2019全国Ⅲ,理10)双曲线C:x24−y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为()A.3❑√24B.3❑√22C.2❑√2D.3❑√2答案:A解析:由已知可得a=2,b=❑√2,则c=❑√a2+b2=❑√6,∴F(❑√6,0). |PO|=|PF|,∴xP=❑√62.又P在C的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=❑√22x上,∴yP=❑√22×❑√62=❑√32.∴S△PFO=12|OF|·|yP|=12×❑√6×❑√32=3❑√24.故选A.6.设F1和F2为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,若F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的渐近线方程是()A.y=±❑√33xB.y=±❑√3xC.y=±❑√217xD.y=±❑√213x答案:B解析: F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,设F1(-c,0),F2(c,0),则|F1P|=❑√c2+4b2,∴❑√c2+4b2=2c.∴c2+4b2=4c2,∴c2+4(c2-a2)=4c2.∴c2=4a2,即c=2a,b=❑√c2-a2=❑√3a.∴双曲线的渐近线方程为y=±bax,即为y=±❑√3x.故选B.7.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为❑√32c,则其离心率的值是.答案:2解析:双曲线的渐近线方程为y=±bax,即bx±ay=0.所以双曲线的焦点F(c,0)到渐近线的距离为|bc±0|❑√a2+b2=bcc=b,解得b=❑√32c,因此a2=c2-b2=c2-34c2=14c2,a=12c,e=2.8.双曲线C:x24-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为.答案:9解析:由双曲线的定义,得|AF2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a≥2b2a+4a=2×12+8=9.9.设A,B分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4❑√3,焦点到渐近线的距离为❑√3.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=❑√33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使⃗OM+⃗ON=t⃗OD,求t的值及点D的坐标.解:(1)由题意知a=2❑√3,故可得一条渐近线方程为y=b2❑√3x,即bx-2❑√3y=0,所以|bc|❑√b2+12=❑√3.所以b2=3,所以双曲线的方程为x212−y23=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入双曲线方程得x2-16❑√3x+84=0,则x1+x2=16❑√3,y1+y2=12.故{x0y0=4❑√33,x0212-y023=1,解得{x0=4❑√3,y0=3.由⃗OM+⃗ON=t⃗OD,得(16❑√3,12)=(4❑√3t,3t),故t=4,点D的坐标为(4❑√3,3).10.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2❑√2,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A和B是W上的不同两点,O是坐标原点,求⃗OA·⃗OB的最小值.解:(1)由|PM|-|PN|=2❑√2知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=❑√2.又焦距2c=4,所以虚半轴长b=❑√c2-a2=❑√2.所以W的方程为x22−y22=1(x≥❑√2).(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).当AB⊥x轴时,x1=x2,y1=-y2,从而⃗OA·⃗OB=x1x2+y1y2=x12−...
