第2章函数、导数及其应用第10节变化率与导数、导数的计算1.(2014陕西,5分)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为()A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x解析:设所求函数解析式为y=f(x),由题意知f(5)=-2,f(-5)=2,且f′(±5)=0,代入验证易得y=x3-x符合题意,故选A答案:A2.(2014新课标全国卷Ⅱ,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3解析:y′=a-,由题意得y′|x=0=2,即a-1=2,所以a=3.答案:D3.(2014广东,5分)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为________.解析:由y=e-5x+2⇒y′=-5e-5x⇒切线的斜率k=y′|x=0=-5,于是切线方程为y-3=-5(x-0)⇒5x+y-3=0.答案:5x+y-3=04.(2014江西,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是________.解析:由题意有y′=-e-x,设P(m,n),直线2x+y+1=0的斜率为-2,则由题意得-e-m=-2,解得m=-ln2,所以n=e-(-ln2)=2.答案:(-ln2,2)5.(2013广东,5分)若曲线y=kx+lnx在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k=________.解析:本题主要考查导数的几何意义,考查考生的运算能力.y′|x=1=0,即当x=1时,k+=k+1=0,解得k=-1.答案:-16.(2013北京,13分)设L为曲线C:y=在点(1,0)处的切线.(1)求L的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.解:本题考查导数的几何意义、导数在研究函数性质和不等式中的应用等基础知识和基本方法,意在考查函数与方程思想、化归与转化思想和考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及综合运用知识分析问题、解决问题的能力.(1)设f(x)=,则f′(x)=.所以f′(1)=1,即L的斜率为1.又L过点(1,0),所以L的方程为y=x-1.(2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).g(x)满足g(1)=0,且g′(x)=1-f′(x)=.当0<x<1时,x2-1<0,lnx<0,所以g′(x)<0,故g(x)单调递减;当x>1时,x2-1>0,lnx>0,所以g′(x)>0,故g(x)单调递增.所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1).所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.7.(2012新课标全国,5分)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________.解析:y′=3lnx+1+3,所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4,所以切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.答案:y=4x-38.(2012广东,5分)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为________.解析:曲线方程为y=x3-x+3,则y′=3x2-1,又易知点(1,3)在曲线上,有y′|x=1=2,即在点(1,3)处的切线方程的斜率为2,所以切线方程为y-3=2(x-1),即y=2x+1.答案:y=2x+19.(2011江苏,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知P是函数ƒ(x)=ex(x>0)的图像上的动点,该图像在点P处的切线l交y轴于点M,过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是____.解析:设点P的坐标为(x0,ex0),则切线l的方程为y-ex0=ex0(x-x0),则过点P作l的垂线m的方程为y-ex0=-(x-x0),令x=0,得M(0,ex0-x0ex0),N(0,ex0+x0),所以t=ex0+-,得t′=(1-x0)(+),令t′=0,得x0=1,当0<x0<1时,t′>0,t=ex0+-单调递增;当x0>1时,t′<0,t=ex0+-单调递减,所以当x0=1时,t取最大值,为(e+).答案:(e+)