第2章函数、导数及其应用第10节变化率与导数、导数的计算1．（2014陕西，5分）如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝x3－xB．y＝x3－xC．y＝x3－xD．y＝－x3＋x解析：设所求函数解析式为y＝f(x)，由题意知f(5)＝－2，f(－5)＝2，且f′(±5)＝0，代入验证易得y＝x3－x符合题意，故选A答案：A2.（2014新课标全国卷Ⅱ，5分）设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．3解析：y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.答案：D3.（2014广东，5分）曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．解析：由y＝e－5x＋2⇒y′＝－5e－5x⇒切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，于是切线方程为y－3＝－5(x－0)⇒5x＋y－3＝0.答案：5x＋y－3＝04.（2014江西，5分）若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．解析：由题意有y′＝－e－x，设P(m，n)，直线2x＋y＋1＝0的斜率为－2，则由题意得－e－m＝－2，解得m＝－ln2，所以n＝e－(－ln2)＝2.答案：(－ln2,2)5．（2013广东，5分）若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.解析：本题主要考查导数的几何意义，考查考生的运算能力．y′|x＝1＝0，即当x＝1时，k＋＝k＋1＝0，解得k＝－1.答案：－16．（2013北京，13分）设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．解：本题考查导数的几何意义、导数在研究函数性质和不等式中的应用等基础知识和基本方法，意在考查函数与方程思想、化归与转化思想和考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及综合运用知识分析问题、解决问题的能力．(1)设f(x)＝，则f′(x)＝.所以f′(1)＝1，即L的斜率为1.又L过点(1,0)，所以L的方程为y＝x－1.(2)证明：令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)＞0(∀x＞0，x≠1)．g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.当0＜x＜1时，x2－1＜0，lnx＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)单调递减；当x＞1时，x2－1＞0，lnx＞0，所以g′(x)＞0，故g(x)单调递增．所以，g(x)＞g(1)＝0(∀x＞0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．7．（2012新课标全国，5分）曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析：y′＝3lnx＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.答案：y＝4x－38．（2012广东，5分）曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析：曲线方程为y＝x3－x＋3，则y′＝3x2－1，又易知点(1,3)在曲线上，有y′|x＝1＝2，即在点(1,3)处的切线方程的斜率为2，所以切线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.答案：y＝2x＋19．（2011江苏，5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数ƒ(x)＝ex(x＞0)的图像上的动点，该图像在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是____．解析：设点P的坐标为(x0，ex0)，则切线l的方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，则过点P作l的垂线m的方程为y－ex0＝－(x－x0)，令x＝0，得M(0，ex0－x0ex0)，N(0，ex0＋x0)，所以t＝ex0＋－，得t′＝(1－x0)(＋)，令t′＝0，得x0＝1，当0＜x0＜1时，t′＞0，t＝ex0＋－单调递增；当x0＞1时，t′＜0，t＝ex0＋－单调递减，所以当x0＝1时，t取最大值，为(e＋)．答案：(e＋)
