奇偶性定义的四个特性张子明函数奇偶性的定义为:设,如果对于任意,都有,则称函数为偶函数;如果对于任意,都有,则称函数为奇函数。深刻理解函数奇偶性的定义,可以得到以下四个方面的特性:一.任意性奇偶性定义中的及对定义域中任意x均成立。例1.(2001年两省一市高考题)设,是R上的偶函数,求a的值。解:因为是R上的偶函数,所以对任意x均成立,即恒成立。整理为()()=0对任意x均成立,所以。又因为,所以。二.对称性对于函数,有为奇函数的图象关于原点对称;为偶函数的图象关于y轴对称。例2.把函数的图象向右平移个单位,所得函数为偶函数,则的最小值是()A.B.C.D.解:依题意,为偶函数,其图象关于y轴对称。因为对称轴方程为,且直线是其中的一条对称轴,所以。又因为,所以时,的最小值是,选(B)。例3.已知定义在R上的偶函数在(,0上是减函数,若,求不等式的解集。解:利用偶函数图象的对称性,画出函数的示意图(如图1)。图1观察图象知,不等式可化为,即或。从而不等式的解集为。三.同值性若是奇函数,则当自变量取互为相反数的一对值时,其函数值也是互为相反数;若是偶函数,则当自变量取互为相反数的一对值时,其函数值相等。例4.已知是定义在实数集上的奇函数,求函数f(x)的解析式。解1:因为f(x)是奇函数,所以即解得,所以解2:因为是定义在实数集上的奇函数,所以,得。所以。例5.已知是奇函数,函数,且,求的值。解:令。注意到是奇函数,那么所以是奇函数由有,从而四.穿越性若是奇函数,则中的负号可以穿越f,即;若是偶函数,则中的负号不能穿越f,即。例6.设的定义域是R,(1)若都是奇函数,求证:是奇函数;(2)若是偶函数,是奇函数,求证:是偶函数。证明:(1)因为是奇函数,所以负号能穿越f与g。这样,所以是奇函数。(2)因为f(x)是偶函数,是奇函数,所以负号能穿越g而不能穿越f。这样,,所以是偶函数。练习:1.判断下列函数的奇偶性:(1);(2)。2.若都是奇函数,在(0,)上有最大值5,则在(,0)上有()A.最小值-5B.最大值-5C.最小值-1D.最大值-33.已知为偶函数,求的值。4.已知函数的周期为4,且等式对任意均成立,求证为偶函数。5.已知是定义在R上的偶函数,且在[0,]上为减函数,若,求实数a的取值范围。[参考答案]1.(1)非奇非偶函数,(2)奇函数;2.(C);3.4.利用定义;5.或