第六章不等式、推理与证明6.3二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题真题演练文1．(2013·北京卷)已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D由所有满足AP＝λAB＋μAC(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为________．解析：AB＝(2,1)，AC＝(1,2)，AP＝λAB＋μAC＝λ(2,1)＋μ(1,2)＝(2λ＋μ，λ＋2μ)．设P(x，y)，则AP＝(x－1，y＋1)，所以即因为1≤λ≤2,0≤μ≤1，所以0≤≤1且1≤≤2，即画出平面区域，如右图所示，|CD|＝，点E到直线x－2y－3＝0的距离为，故四边形BDCE的面积为3.答案：32．(2012·广东卷)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝OM·OA的最大值为()A．3B．4C．3D．4解析：本题主要考查线性规划的概念与向量的数量积的坐标运算及数形结合思想，属中档题．由已知得z＝OM·OA＝x＋y，画出可行域如图，由目标函数得移动直线y＝－x＋z，所以当直线y＝－x＋z经过点B(，2)时，z最大，且此时z＝·＋2＝4，故选B.答案：B3．(2015·北京卷)若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为()A．0B．1C.D．2解析：由x，y的约束条件可画出可行域(如图所示)，其中A，B(0,1)，易知直线x＋2y－z＝0经过点B(0,1)时，z取最大值2，故选D.答案：D4．(2015·山东卷)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝()A．3B．2C．－2D．－3解析：作出可行域如图．①当a<0时，显然z＝ax＋y的最大值不为4；②当a＝0时，z＝y在B(1,1)处取得最大值，为1，不符合题意；③当0
1时，z＝ax＋y在A(2,0)处取得最大值，zmax＝2a＝4，得a＝2，符合题意．综上，a＝2.答案：B5．(2014·广东卷)若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m，n，则m－n＝()A．5B．6C．7D．8解析：画出可行域，如图阴影部分所示．由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z.由得∴A(－1，－1)．由得∴B(2，－1)．当直线y＝－2x＋z经过点A时，zmin＝2×(－1)－1＝－3＝n；当直线y＝－2x＋z经过点B时，zmax＝2×2－1＝3＝m.故m－n＝6.答案：B
