（新课改省份专用）高考数学一轮复习 课时跟踪检测（四十四）利用空间向量求空间角（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

课时跟踪检测（四十四）利用空间向量求空间角一、题点全面练1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选C建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0，0,2)，N(1,0,0)，∴B1M＝(－1，－1，－2)，D1N＝(1,0，－2)，∴B1M与D1N所成角的余弦值为＝＝.2．如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：选A如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，C(0,3,0)，∴DC1＝(0,3,1)，D1E＝(1,1，－1)，D1C＝(0,3，－1)．设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，则即取y＝1，得n＝(2,1,3)．∴cosDC1，n＝＝，∴DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为.3．在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝2，二面角BAA1C1的大小为60°，点B到平面ACC1A1的距离为，点C到平面ABB1A1的距离为2，则直线BC1与直线AB1所成角的正切值为()A.B.C.D．2解析：选A由题意可知，∠BAC＝60°，点B到平面ACC1A1的距离为，点C到平面ABB1A1的距离为2，所以在三角形ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝2，∠ABC＝90°，则AB1·BC1＝(BB1－BA)·(BB1＋BC)＝4，|AB1|＝2，|BC1|＝4，cosAB1，BC1＝＝，故tanAB1，BC1＝.4.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：选A设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，分别以DA，DB，DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B1，F(1,0,1)，E，G(0,0,2)，B1F＝，EF＝，GF＝(1,0，－1)．设平面GEF的法向量n＝(x，y，z)，则即取x＝1，则z＝1，y＝，故n＝为平面GEF的一个法向量，所以cos〈n，B1F〉＝＝－，所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为.5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选B以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，∴A1D＝(0,1，－1)，A1E＝，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，则即∴∴n1＝(1,2,2)．又平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝.即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.6．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.若直线OF与平面BED所成的角为45°，则AE＝________.解析：如图，以O为坐标原点，以OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系．设AE＝a，则B(0，，0)，D(0，－，0)，F(－1,0,3)，E(1,0，a)，∴OF＝(－1,0,3)，DB＝(0,2，0)，EB＝(－1，，－a)．设平面BED的法向量为n＝(x，y，z)，则即则y＝0，令z＝1，得x＝－a，∴n＝(－a,0,1)，∴cos〈n，OF〉＝＝. 直线OF与平面BED所成角的大小为45°，∴＝，解得a＝2或a＝－(舍去)，∴AE＝2.答案：27.如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO＝2，AB＝2，E，F分别是AB，AP的中点，则二面角FOEA的余弦值为________．解析：以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由题知，OA＝OB＝2，则A(0，－2,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，E(1，－1,0)，F(0，－1,1)，OE＝(1，－1,0)，OF＝(0，－1,1)，设平面OEF的法向量为m＝(x，y，z)，则即令x＝1，可得m＝(1,1,1)．易知平面OAE的一个法向量为n＝(0,0,1)，则cos〈m，n〉＝＝.由图知二面角FOEA为锐角，所以二面角FOEA的余弦值为.答案：8．(2018·全国卷Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧C所在平面垂直，M是C上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值．解：(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，又DM⊂平面CMD，所以B...