高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式课堂演练（含解析）新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式A级基础巩固一、选择题1．设a≥b＞0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P与Q的大小关系是()A．P＞QB．P≥QC．P＜QD．P≤Q解析：因为a≥b＞0，所以a2≥b2＞0.因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)，则P≥Q.答案：B2．车间里有5台机床同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次为4min，8min，6min，10min，5min，每台机床停产1min损失5元，经合理安排损失最少为()A．420元B．400元C．450元D．570元解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．答案：A3．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为()A．A＞BB．A＜BC．A≥BD．A≤B解析：依序列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为序列{xn}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.答案：C4．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则＋＋的最小值为()A．3B．6C．9D．12解析：设a1≥a2≥a3＞0，则≥≥＞0，由乱序和不小于反序和，知＋＋≥＋＋＝3，所以＋＋的最小值为3.答案：A5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是()A．大于零B．大于等于零C．小于零D．小于等于零解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，1所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.答案：B二、填空题6．如图所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．(填“≥”“≤”或“＝”)解析：阴影面积为a1b1＋a2b2，而空白面积为a1b2＋a2b1.根据顺序和≥反序和可知答案．答案：≥7．若c1，c2，c3是4，5，6的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．解析：由排序不等式，顺序和最大，反序和最小．所以最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28.答案：32288．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．解析：两组数2件、4件、5件与1元、2元、3元的反序和S1＝2×3＋4×2＋5×1＝19(元)．顺序和S2＝2×1＋4×2＋5×3＝25(元)．根据排序原理可知至少花19元，最多花25元．答案：1925三、解答题9．设a1，a2，a3为正数，且a1＋a2＋a3＝1，求＋＋的最小值．解：不妨设a3＞a1＞a2＞0，则＜＜，所以a1a2＜a2a3＜a3a1.设乱序和S＝＋＋＝a1＋a2＋a3＝1，顺序和S′＝＋＋.由排序不等式得＋＋≥a1＋a2＋a3＝1，所以＋＋的最小值为1.10．已知0<α<β<γ<，求证：sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγ·cosα>(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．证明：因为0<α<β<γ<，且y＝sinx在上为增函数，y＝cosx在上为减函数，所以0cosβ>cosγ>0.所以sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα>sinαcosα＋sinβcosβ＋sinγcosγ＝(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．B级能力提升1．已知实数a≥b≥c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则a＋b＋c的最大值是()A．1B．2C．3D.2解析：因为a≥b≥c≥0，知≥≥，由排序不等式，得a＋b＋c≤a＋b＋c.又(a＋b＋c)2≤[(a)2＋(b)2＋(c)2]·(1＋1＋1)＝3(a3＋b3＋c3)＝9，所以a＋b＋c≤3.故a＋b＋c≤3.答案：C2．若a＞0，b＞0且a＋b＝1，则＋的最小值是________．解析：不妨设a≥b＞0，则有a2≥b2，且≥.由排序不等式＋≥·a2＋·b2＝a＋b＝1，当且仅当a＝b＝时，等号成立．所以＋的最小值为1.答案：13．设a1，a2，…，an是1，2，…，n的一个排列．求证：＋＋…＋≤＋＋…＋.证明：设b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一个排列，且b1>…>且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n，所以≥，≥，…，≥，利用排序不等式，有＋＋…＋≥＋＋…＋≥＋＋…＋.所以原不等式得证．3