题组层级快练(四十五)(第一次作业)1．(2016·合肥一检)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．90°答案B解析连接A1D，DC1，A1C1， E，F为A1D，A1C1中点，∴EF∥C1D.∴EF和CD所成角即为∠C1DC＝45°.2．若正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A.B.C.D.答案B解析间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B1D⊥平面ACD，∴B1D⊥DC，故△B1DC为直角三角形．设棱长为1，则有AD＝，B1D＝，DC＝，∴S△B1DC＝××＝.设A到平面B1DC的距离为h，则有VA－B1DC＝VB1－ADC，∴×h×S△B1DC＝×B1D×S△ADC.∴×h×＝××，∴h＝.设直线AD与平面B1DC所成的角为θ，则sinθ＝＝.向量法：如图，取AC的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系．设各棱长为2，则有A(0，－1，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B1(，0，2)．设n＝(x，y，z)为平面B1CD的法向量，则有⇒⇒n＝(0，2，1)．∴sin〈AD，n〉＝＝.3．(2016·皖南八校联考)四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，则二面角V－AB－C的余弦值的大小为()A.B.C.D.答案B解析如图所示，取AB中点E，过V作底面的垂线，垂足为O，连接OE，根据题意可知，∠VEO是二面角V－AB－C的平面角．因为OE＝1，VE＝＝2，所以cos∠VEO＝＝＝，故选B.4．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案B解析以A点为坐标原点，AP，AB，AD分别为x，y，z轴建系且设AB＝1，∴C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．∴设面CDP的法向量为n＝(x，y，z)．∴令y＝1，∴n＝(0，1，1)．又 AD为面ABP的一个法向量，∴cos〈n，AD〉＝＝＝.∴二面角为45°.5．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若E，F分别是BC，DD1的中点，则B1到平面ABF的距离为()A.B.C.D.答案D解析方法一：由VB1－ABF＝VF－ABB1可得解．方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B1(1，1，0)．设F(0，0，)，E(，1，1)，B(1，1，1)，AB＝(0，1，0)．∴B1E＝(－，0，1)，AF＝(－1，0，－)． AF·B1E＝(－1，0，－)·(－，0，1)＝0，∴AF⊥B1E.又AB⊥B1E，∴B1E⊥平面ABF.平面ABF的法向量为B1E＝(－，0，1)，AB1＝(0，1，－1)．B1到平面ABF的距离为＝.6．如图所示，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB.(1)求证：AB⊥DE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值．答案(1)略(2)解析(1)证明：取AB的中点O，连接EO，DO.因为EB＝EA，所以EO⊥AB.因为四边形ABCD为直角梯形，AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC，所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD.所以AB⊥平面EOD.因为ED⊂平面EOD，所以AB⊥ED.(2)方法一：因为平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC，所以BC⊥平面ABE.则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角．设BC＝a，则AB＝2a，BE＝a，所以CE＝a.则在直角三角形CBE中，sin∠CEB＝＝＝，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.方法二：因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，所以EO⊥平面ABCD，所以EO⊥OD.由OB，OD，OE两两垂直可建立如图所示的空间直角坐标系．因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OD＝OE.设OB＝1，则O(0，0，0)，A(－1，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，E(0，0，1)．所以EC＝(1，1，－1)，平面ABE的一个法向量为OD＝(0，1，0)．设直线EC与平面ABE所成的角为θ，所以sinθ＝|cos〈EC，OD〉|＝＝.即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.7．(2016·河南内黄一中摸底)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC.(1)求证：AC⊥BB1；(2)若AB＝AC＝A1B＝2，在棱B1C1上确定一点P，使二面角P－AB－A1的平面角的余弦值为.答案(1)略(2)P为棱B1C1的中点时满足题意解析(1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，因为A1B⊥平面ABC，A1B⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面ABC.因为平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，AB⊥AC，所以AC⊥平面ABB1A1，所以AC⊥BB1.(2)如图所示，以A为原点建立空间直角...
