考点规范练42直线与圆锥曲线一、基础巩固1.抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为()A.❑√2B.7❑√28C.2❑√2D.5❑√262.设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y=2x2上的两点,直线l是AB的垂直平分线.当直线l的斜率为12时,直线l在y轴上的截距的取值范围是()A.(34,+∞)B.[34,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,-1)3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.❑√63B.❑√33C.❑√23D.134.已知椭圆ax2+by2=1(a>0,b>0)与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为❑√32,则ba的值为()A.❑√32B.2❑√33C.9❑√32D.2❑√3275.已知斜率为1的直线l与椭圆x24+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为()A.2B.4❑√55C.4❑√105D.8❑√1056.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.107.已知过抛物线y=14x2的焦点F的直线l分别与抛物线和圆x2+(y-1)2=1交于A,B,C,D四点,则⃗AB·⃗DC=.8.如图,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为❑√22.(1)求椭圆E的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于P,Q(均异于点A)两点,证明:直线AP与AQ的斜率之和为定值.9.在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH||ON|;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.二、能力提升10.设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)11.设双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.12.(2018浙江,17)已知点P(0,1),椭圆x24+y2=m(m>1)上两点A,B满足⃗AP=2⃗PB,则当m=时,点B横坐标的绝对值最大.13.在平面直角坐标系xOy中,曲线C:y=x24与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.三、高考预测14.(2018北京,理19)已知抛物线C:y2=2px(p≠0)经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于点M,直线PB交y轴于点N.(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)设O为原点,⃗QM=λ⃗QO,⃗QN=μ⃗QO,求证:1λ+1μ为定值.考点规范练42直线与圆锥曲线1.B解析设抛物线上一点的坐标为(x,y),则d=|x-y-2|❑√2=|-x2+x-2|❑√2=|-(x-12)2-74|❑√2,所以当x=12时,dmin=7❑√28.2.A解析设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程为y=12x+b.过点A,B的直线可设为y=-2x+m,联立方程{y=2x2,y=-2x+m,得2x2+2x-m=0,从而有x1+x2=-1,Δ=4+8m>0,m>-12.又AB的中点(-12,m+1)在直线l上,即m+1=-14+b,得m=b-54.将m=b-54代入4+8m>0,得b>34,所以直线l在y轴上的截距的取值范围是(34,+∞).3.A解析以线段A1A2为直径的圆的方程是x2+y2=a2.因为直线bx-ay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切,所以圆心到该直线的距离d=2ab❑√b2+a2=a,整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),所以c2a2=23,从而e=ca=❑√63.故选A.4.B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则ax12+by12=1,ax22+by22=1,两式相减得ax12-ax22=-(by12-by22),即b(y1-y2)(y1+y2)a(x1-x2)(x1+x2)=-1,∴ba×(-1)×❑√32=-1,∴ba=2❑√33,故选B.5.C解析设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t.由{x2+4y2=4,y=x+t消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0.则x1+x2=-85t,x1x2=4(t2-1)5.所以|AB|=❑√1+k2|x1-x2|=❑√1+k2·❑√(x1+x2)2-4x1x2=❑√2·❑√(-85t)2-4×4(t2-1)5=4❑√25·❑√5-t2,当t=0时,|AB|max=4❑√105.6.A解析由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),直线l1方程为y=k1(x-1),与抛物线方程联立,得{y2=4x,y=k1(x-1),消去y,得k12x2-2k12x-4x+k12=0,所以x1+x2=2k12+4k12.同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=2k22+4k22.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=2k12+4k12+2k22+4k22+4=4k12+4k22+8≥2❑√16k...
