课时限时检测(四十四)立体几何中的向量方法(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，有可能使l∥α的是()A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)【答案】D2．平面α的一个法向量为n＝(1，－，0)则y轴与平面α所成的角的大小为()A.B.C.D.【答案】B3.已知平面α，β的法向量分别为μ＝(－2,3，－5)，v＝(3，－1，4)则()A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上都不正确【答案】C4．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则直线AM与CN所成角α的余弦值为()图7－7－11A.B.C.D.【答案】A5．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为()A．150°B．45°C．60°D．120°【答案】C6．如图7－7－12，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上且AM∥平面BDE.则M点的坐标为()图7－7－12A．(1,1,1)B.C.D.【答案】C二、填空题(每小题5分，共15分)7．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为．【答案】8．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为．【答案】9．正四棱锥S—ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是．【答案】30°三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2013·浙江高考改编)如图，在四面体A—BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.图7－7－13证明：PQ∥平面BCD.【证明】如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O—xyz.由题意知A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0)．设点C的坐标为(x0，y0,0)，因为AQ＝3QC，所以Q.因为点M为AD的中点，故M(0，，1)．又点P为BM的中点，故P，所以PQ＝.又平面BCD的一个法向量为a＝(0,0,1)，故PQ·a＝0.又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.11．(12分)(2013·江苏高考)如图7－7－14，在直三棱柱A1B1C1—ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．图7－7－14(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．【解】(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以A1B＝(2,0，－4)，C1D＝(1，－1，－4).因为cos〈A1B，C1D〉＝＝＝，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为AD＝(1,1,0)，AC1＝(0,2,4)，所以n1·AD＝0，n1·AC1＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.由|cosθ|＝＝＝，得sinθ＝.因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.12．(13分)如图7－7－15，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AD＝PD.图7－7－15(1)求证：平面PQC⊥平面DCQ；(2)若二面角Q—BP—C的余弦值为－.求的值．【解】(1)证明法一设AD＝1，则DQ＝，DP＝2，又∵PD∥QA，∴∠PDQ＝∠AQD＝45°，在△DPQ中，由余弦定理可得PQ＝.∴DQ2＋PQ2＝DP2，∴PQ⊥DQ.又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC.∵CD⊥DA，DA∩PD＝D，∴CD⊥平面ADPQ.∵PQ⊂平面ADPQ，∴CD⊥PQ，又∵CD∩DQ＝D，∴PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.法二如图，以D为坐标原点，DA，DP，DC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D—xyz.设AD＝1，AB＝m(m＞0)．依题意有D(0,0,0)，C(0,0，m)，P(0,2,0)，Q(1,1,0)．则DC＝(0,0，m)，DQ＝(1,1,0).PQ＝(1，－1,0)，所以PQ·DC＝0，PQ·DQ＝0，即PQ⊥DC，PQ⊥DQ.又DQ∩DC＝D.所以PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.(2)依题意有B(1,0，m)，CB＝(1,0,0)，BP＝(－1,2，－m)．设n1＝(x1，y1，z1)是平面PBC的法向量，则即因此可取n1＝(0，m,2)．设n2＝(x2，y2，z2)是平面PBQ的法向量，则即可取n2＝(m，m,1)．又∵二面角Q—BP—C的余弦值为－，∴|cos〈n1，n2〉|＝.∴＝整理得m4＋7m2－8＝0.又∵m＞0，解得m＝1.因此，所求的值为1.
