母题十七应用空间向量解决立体几何问题【母题原题1】【2018天津，理17】如图，且AD=2BC，，且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2．（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：；（II）求二面角的正弦值；（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．【考点分析】本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．【答案】（I）证明见解析；（II）；（III）．【解析】试题分析：依题意，可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，则点的坐标为，结合空间向量的结论计算可得线段的长为．试题解析：依题意，可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得，．（Ⅰ）依题意．设为平面的法向量，则即不妨令，可得．又，可得，不妨令，可得．因此有，于是．所以，二面角的正弦值为．（Ⅲ）设线段的长为，则点的坐标为，可得．易知，为平面的一个法向量，故，由题意，可得，解得．所以线段的长为．【名师点睛】本题主要考查空间向量的应用，线面平行的证明，二面角问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【母题原题2】【2017天津，理17】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或．试题解析：如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）．（Ⅰ）证明：=（0，2，0），=（2，0，）．设，为平面BDE的法向量，则，即．不妨设，可得．又=（1，2，），可得． 平面BDE，∴MN//平面BDE．（Ⅱ）易知为平面CEM的一个法向量．设为平面EMN的法向量，则∴线段AH的长为或．【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很容易．【母题原题3】【2016天津，理17】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（I）求证：EG∥平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．．IzyxABCDEFGHO（I）证法1：依题意，．设为平面的法向量，则，即．不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以．证法2：建立如上右图的坐标系来证（略）．证法3：找到中点，连结， 矩形，∴． 、是中点，∴是的中位线，∴且． 是正方形中心，∴，∴且，∴四边形是平行四边形，∴． 面，∴面．（II）解法1：易证，为平面的一个法向量．依题意，．设为平面的法向量，则，即．不妨设，可得．因此有，于是，所以，二面角的正弦值为．（III）解：由，得．因为，所以，进而有，从而，因此．所以，直线．考点：利用空间向量解决立体几何问题【名师点睛】1．利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．2．利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题．（1）a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0；（2）|a|＝；（3）cos〈a，b〉＝．【母题原题4】【2015天津，理】如图，在四棱柱中，侧棱，，，，且点M和N分别为的中点．(I)求证：；(II)求二面角的正弦值；(III)设E为棱上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段的长【答案】(I)见解析；(II)；(III)．【解析】别为和的中点，得．(I)证明：依题意，可得为平面的一个法向量，，由此可得，，又因为直线平面，所以平面(II)，...
