高考达标检测（二十五）数列求和的3种方法—分组转化、裂项相消和错位相减一、选择题1．(2017·扬州调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，并满足：an＋2＝2an＋1－an，a5＝4－a3，则S7＝()A．7B．12C．14D．21解析：选C由an＋2＝2an＋1－an知数列{an}为等差数列，由a5＝4－a3得a5＋a3＝4＝a1＋a7，所以S7＝＝14.2．(2017·安徽江南十校联考)在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为()A．100B．110C．120D．130解析：选C{an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.故选C.3．(2017·安溪质检)数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝()A．9B．8C．17D．16解析：选AS17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为()A.B.C.D.解析：选A设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a5＝5，S5＝15，∴∴∴an＝a1＋(n－1)d＝n.∴＝＝－，∴数列的前100项和为＋＋…＋＝1－＝.5．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前2016项和S2016＝()A．22017－2B．22017－1C．22017D．22017＋1解析：选A由题意知an＋1－an＝2n，则an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－2，…，a3－a2＝22，a2－a1＝2，累加求和得an－a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＝＝2n－2，n≥2，又a1＝2，所以an＝2n，则数列{an}的前2016项和S2016＝＝22017－2，故选A.6．已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝，若函数f(x)＝sin2x＋2cos2，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为()A．0B．－9C．9D．1解析：选C由已知可得，数列{an}为等差数列，f(x)＝sin2x＋cosx＋1，∴f＝1.∵f(π－x)＝sin(2π－2x)＋cos(π－x)＋1＝－sin2x－cosx＋1，∴f(π－x)＋f(x)＝2，∵a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，∴f(a1)＋…＋f(a9)＝2×4＋1＝9，即数列{yn}的前9项和为9.二、填空题7．(2016·陕西一检)已知数列{an}中，a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，则{an}的前100项和为________．解析：由a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，得a2n＋a2n＋1＝n＋1，∴a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a98＋a99)＝2＋2＋3＋…＋50＝1276，∵a100＝1＋a50＝1＋(1＋a25)＝2＋(12－a12)＝14－(1＋a6)＝13－(1＋a3)＝12－(1－a1)＝13，∴a1＋a2＋…＋a100＝1276＋13＝1289.答案：12898．1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________(x≠0且x≠1)．解析：设Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，①则xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，②①－②得：(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn＝－nxn，∴Sn＝－.答案：－9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2017＝________.解析：由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，a5＝1，a6＝－2，a7＝－1，…，故该数列为周期是4的数列，所以S2017＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＝504×(－2)＋1＝－1007.答案：－1007三、解答题10．(2017·西安八校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝－3，S10＝－40.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若从数列{an}中依次取出第2,4,8，…，2n，…项，按原来的顺序排成一个新数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)∵a5＝a1＋4d＝－3，S10＝10a1＋45d＝－40，解得a1＝5，d＝－2.∴an＝－2n＋7.(2)依题意，bn＝a2n＝－2×2n＋7＝－2n＋1＋7，故Tn＝－(22＋23＋…＋2n＋1)＋7n＝－＋7n＝4＋7n－2n＋2.11．已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，a6＝64，且a4，a5的等差中项为3a3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意，得解得所以an＝2n.(2)因为bn＝＝，所以Tn＝＋＋＋＋…＋，Tn＝＋＋＋…＋＋，所以Tn＝＋＋＋＋…＋－＝－＝－，故Tn＝－＝－.12．(2017·云南统检)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，对任意n∈N*，都有2Sn＝(n＋1)an.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，求证：≤Tn<1.解：(1)因为2Sn＝(n＋1)an，当n≥2时，2Sn－1＝nan－1，两式相减，得2an＝(n＋1)an－nan－1，即(n－1)an＝nan－1，所以当n≥2时，＝，所以＝＝2，即an＝2n(n≥2)．因为a1＝2也符合上式，所以an＝2n.(2)证明：由(1)知an＝2n，令bn＝，n∈N*，所以bn＝＝＝－.所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－.因为>0，所以1－<1.显然当n＝1时，Tn取得最小值.所以≤Tn<1.
