第5讲三角函数的图象与性质1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是()A．y＝cosB．y＝sinC．y＝sin2x＋cos2xD．y＝sinx＋cosx解析：选A．y＝cos＝－sin2x，最小正周期T＝＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确；y＝sin＝cos2x，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y轴对称，故B不正确；C、D均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C、D不正确．2．函数y＝的定义域为()A．B．，k∈ZC．，k∈ZD．R解析：选C．由cosx－≥0，得cosx≥，所以2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.3．若函数f(x)＝sin－cos的图象关于原点对称，则角θ＝()A．－B．C．－D．解析：选D.因为f(x)＝2sin，且f(x)的图象关于原点对称，所以f(0)＝2sin＝0，即sin＝0，所以θ－＝kπ(k∈Z)，即θ＝＋kπ(k∈Z)．又|θ|＜，所以θ＝.4．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间内的图象是()解析：选D.y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|＝结合选项图形知，D正确．5．(2019·广州综合测试(一))已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)是奇函数，直线y＝与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则()A．f(x)在上单调递减B．f(x)在上单调递减C．f(x)在上单调递增D．f(x)在上单调递增解析：选D.f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin，因为0＜φ＜π且f(x)为奇函数，所以φ＝，即f(x)＝－sinωx，又直线y＝与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，所以函数f(x)的最小正周期为，由＝，可得ω＝4，故f(x)＝－sin4x，由2kπ＋≤4x≤2kπ＋，k∈Z，即＋≤x≤＋，k∈Z，令k＝0，得≤x≤，此时f(x)在上单调递增，故选D.6．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若f＝－2，则f(x)的单调递减区间是________．解析：当x＝时，f(x)有最小值－2，所以2×＋φ＝－＋2kπ，即φ＝－π＋2kπ，k∈Z，又因为|φ|＜π，所以φ＝－π.所以f(x)＝－2sin(2x－π)．由－＋2kπ≤2x－π≤＋2kπ，得＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.答案：，k∈Z7．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0且|φ|＜)在区间上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f等于________．解析：由题意知，k∈Z，解之得ω＝2，φ＝＋2kπ，又因为|φ|＜，所以φ＝.所以f(x)＝sin.所以f＝sin＝cos＝.答案：8．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝3·cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________．解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin，当x∈时，－≤2x－≤，所以－≤sin≤1，故f(x)∈.答案：9．(2017·高考北京卷)已知函数f(x)＝cos－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.解：(1)f(x)＝cos2x＋sin2x－sin2x＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)．所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)证明：因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.所以sin(2x＋)≥sin(－)＝－.所以当x∈[－，]时，f(x)≥－.10．(2016·高考北京卷)已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间．解：(1)因为f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin(2ωx＋)，所以f(x)的最小正周期T＝＝.依题意，＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋)．函数y＝sinx的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B.易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.2．(2019·石家庄质量检测(一))若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0＜θ＜π)的图象关于对称，则函数f(x)在上的最小值是()A．－1B．－C．－D．－解析：选B．f(x)＝sin(2x...
