高考数学总复习：基本不等式与不等式的证明知识网络目标认知考试大纲要求：1.了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；2．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：①；②；3．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.会用数学归纳法证明贝努利不等式：为大于1的正整数）；了解当n为实数时贝努利不等式也成立.5．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.重点：会用基本不等式、柯西不等式等解决简单的最大（小）值问题；了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.难点：利用基本不等式、柯西不等式求最大值、最小值，特别注意等号成立条件；不等式的证明。知识要点梳理知识点一：绝对值不等式的性质1．；2．；知识点二：基本不等式1、如果那么当且仅当时取“=”号）.2、如果那么（当且仅当时取“=”号）.3、如果，那么（当且仅当时取“=”号）4、如果，那么（当且仅当时取“=”号）5、若a1,a2,....,an∈R+，则:≥(n∈N)当且仅当a1=a2=.......=an时，取等号。知识点三：柯西不等式1.二维形式的柯西不等式：（1）向量形式：设是两个向量，则，当且仅当是零向量或存在实数k，使时，等号成立。（2）代数形式：①若a、b、c、d都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立；②若a、b、c、d都是正实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立；③若a、b、c、d都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立；注意：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；（3）三角形式：设，则。2.三维形式的柯西不等式（代数形式）：若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。3.一般形式的柯西不等式（代数形式）：若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。知识点四：不等式的证明1．不等式证明的理论依据：不等式的概念和性质，实数的性质，以及一些基本的不等式：（1）若a∈R,则|a|≥0,a2≥0.（2）若a,b∈R,则a2+b2≥2ab.（3）若a,b∈R+,则≥（4）若a,b同号，则+≥2.（5）若a,b,c∈R+,则≥（6）若a,b∈R,则||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|2．证明不等式的基本方法：比较法(作差、作商)，综合法，分析法，数学归纳法及反证法；另外还有如换元法、放缩法等。规律方法指导（1）基本不等式的功能在于“和积互化”。若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值则“积”有最大值。（2）在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。（3）在不等式证明过程中,应注重与不等式的运算性质联合使用,用放缩法证明时放大或缩小应适度。（4）柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。利用柯西不等式求最值的关键在于将式子进行恰当的“凑”变形。
